Материал: Задачи и упражнения для организации самостоятельной работы по дисциплинам «Математика», «Спецглавы математики». Катрахова А.А., Васильев Е.М

Смотрите также:

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

8.Какова третья подстановка Эйлера и когда она приме-

няется?

9.Каким еще методом берутся те же интегралы, в которых применяются подстановки Эйлера?

10.Как и какие тригонометрические подстановки используются для вычисления интегралов?

Примеры решения задач Пример 1. Найти интеграл 3x 31 33x2 dx.

Решение. Представим данный интеграл в следующем виде:

								1		2	1

												3
		3		3
3						2
							dx x	3		3
	x				x			3		3			dx.
	x		1 3		x				1 3x				dx.

Отсюда видно, что под знаком интеграла стоит дифференци-

альный бином, при этом m 1 , n 2 , p 1 . Так как p - не

3 3 3

целое число, то данный интеграл не относится к первому слу-

	m 1	1	1
чаю.		3	1		- целое число, поэтому данный интеграл
		3
				2
			2	2
	n		2
		3

относится ко второму случаю и соответствующая подстановка:

	2								3		3
	2									1		2
												2
1 3x3		t3. Выражаем отсюда					x	t					и находим
1 3x3		t3. Выражаем отсюда					x						и находим
										3
										3
			1
			1
dx	3			t3 1		t2dt . Таким образом,
	3				2
	2				2

										t3				1
											1			2								1



3		x	31 33 x2 dx												t		3		t3 1 2 t2dt
																	2
												3					2
	1				3		3	1	6				3					1 t7			t4
				t			t dt		t t					dt									C

	2					1		2
	2							2								2			7	4

возвращаемся

к исходной 141 3 1 33x2 7 81 3 1 33x3 4 C .

переменной

Решение. Представим данный интеграл в следующем виде:

	dx			x 11 1 x4	1
					2 dx.

11
11		1 x	4
x		1 x

Отсюда видно, что под знаком интеграла стоит диффе-

ренциальный бином, при этом m 11, n 4, p 1 . Так как

p - не целое число, то данный интеграл не относится к первому случаю. m 1 11 1 5 - не целое число, значит данный

интеграл не относится ко второму случаю. m 1 p 3 - це- n

лое число, поэтому данный интеграл относится к третьему слу-

чаю и соответствующая подстановка: 1 x x 4 1 t2. Вы- x4

											1																				1									5
ражаем отсюда x t2							1				4			и находим											dx						1		t2			1				4 tdt .
ражаем отсюда x t2							1				4			и находим											dx						2		t2			1				4 tdt .
Таким образом,																										1
																11										1												5
	dx							1															1
																												2

										t2 1 4																				t2 1									4 tdt
																		1
								2														t	2
	x11 1 x			4																			2
	x11 1 x			4																				1
				1		t	2					2		dt				1 t5							2t3

				2					1									2						3			t C
				2														2	5					3
			возвращаемся к исходной переменной
			возвращаемся к исходной переменной

																																1				1
		с помощью обратной замены t
		с помощью обратной замены t																																	x4
																																			x4

1									1 5				1						1				3			1
1									1 5				1						1				3			1				1							C .
					1												1												1
					1			x4									1			x4						2			1					x4
10								x4					3							x4						2								x4
Пример 3. Найти интеграл																		dx									.
														x 1

																			x2 x 1
															R x,																	dx. В нашем
Решение. Это интеграл вида															R x,						ax2			bx c								dx. В нашем

случае a 1 0, поэтому применим первую подстановку Эйле-

ра: x2 x 1 x t . Возведя обе части равенства в квадрат,

получим x2 x 1 x2 2xt t2 . Выражаем отсюда x t2 1 и 1 2t

находим dx 2

t2 t

dt. Таким образом,

1 2t 2

t 1 dt

x 1

1 2t 2

1 2t

d t 1

t 2

2t 1 1

t 1

возвращаемся к исходной переменной

с помощью обратной замены t

x2 x 1 x

ln x2 x 1 x 2 C . x2 x 1 x

Пример 4. Найти интеграл

2 x x2

R x,

dx. В нашем

Решение. Это интеграл вида

ax2

bx c

случае квадратный трехчлен

2 x x2

имеет действительные

корниx1 1 и x2

2, поэтому применим третью подстановку

Эйлера:

2 x x2

x 1 t. Возведя

обе

части

равенства в

квадрат, получим x 1 x 2 x 1 2 t2.

Выражаем отсюда

2 t2

и находим dx

dt . Таким образом,

t2 1

t2 1 2

tdt

2 t

2 x x

1 t

2 1

возвращаемся к исходной переменной

с помощью обратной замены

2 x x2

x 1

C .

2 x

x 1

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

Решить задачи: [13], 2076, 2078, 2080;

Форма отчетности: устный опрос, типовой расчет, контрольная работа.

ЗАНЯТИЯ № 17

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.

ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Литература: [12], c. 429-448, [20], c. 141-146.

Контрольные вопросы и задания

1.Как вычисляются несобственные интегралы 1 рода ( с бесконечными пределами ) ?

2.Сформулируйте признаки сходимости несобственныхинтегралов 1 рода ?

3.Как вычисляются несобственные интегралы 2 рода ( от неограниченной функции ) ?

4.Сформулируйте признаки сходимости несобственныхинтегралов 2 рода.

5.Как вычислить с помощью определенного интеграла площадь плоской фигуры в случае задания ее границы в явном виде, в полярных координатах, параметрическими уравнениями?

6.Вычислите с помощью определенного интеграла длину дуги кривой в случае задания ее уравнением в явном виде, параметрическом виде, в полярных координатах?

7.Как вычислить объем тела по площадям поперечных сече-

ний; объем тела вращения вокруг оси Ox, оси Oy ? 8. Как вычислить поверхность тела вращения?

Источник: https://studfile.net/preview/16565425/

Пример 2. Найти интеграл




_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога