Материал: Задачи и упражнения для организации самостоятельной работы по дисциплинам «Математика», «Спецглавы математики». Катрахова А.А., Васильев Е.М

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

причем сегменты примыкают друг к другу по лучу 2. Дуга первого сегмента описывается концом полярного радиуса второй окружности при 4 2, поэтому его площадь

	1	2			2					1	2
S1			2sin					d					1 cos		2		d
S1			2sin					d		2			1 cos		2	2	d
	2	4					4			2	4					2
	1			sin 2				2	2			1			1		1 .
	1			sin 2				2	2			1			1		1 .


	2					2			4			2 2		4 2		8 4
	2					2			4			2 2		4 2		8 4
									=


														=
						S2
						S2							S1
								1					S1
								1
								2
	=													=0
						-1/2


						5
						=

Рис. 11 Дуга второго сегмента описывается концом полярного

радиуса первой окружности при 2 , поэтому его площадь

	1				1
S2	1	sin2 d			1	1 cos2 d
S2	2	sin2 d			4	1 cos2 d
		2				2
1			sin2			1
1			sin2			1
										.
										.
4			2	2		4	2		8		1
4			2	2		4	2		8
Таким образом, искомая площадь S S								S	2				.
Таким образом, искомая площадь S S								S					.
							1					4
												4

Пример 9. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми r cos и r 12 sin .

Решение. Определим область, в которой расположена первая

кривая. Для	этого решим неравенство cos 0. Получаем
2	2. Так как cos x r, то в декартовых координа-

тах уравнение первой кривой запишется следующим образом x2 y2 x или в каноническом виде x 12 2 y2 14 –

это уравнение окружности с центром 12, 0 и радиусом рав-

ным 12. Окружность расположена в правой полуплоскости и проходит через полюс r 0 (рис. 12).

1,707

0,707



5
=

S
2	=

S1 =0

0,5

			Рис. 12
		Для построения второй		кривой решаем неравенство
1	2	sin 0. Получаем		4 5 4. Видно, что при

граничных значениях полярного угла r 0, а при 2 дос-

тигает максимального значения r 12 1 1,707 (рис. 12). Из вышеизложенного следует, что одной точкой пересе-

чения данных кривых является полюс. Найдем остальные точки

пересечения кривых. Для этого решим систему
r cos ,
				.
		4	2

r 1	2 sin ,

Здесь указан диапазон углов, общих для обеих кривых. Приравнивая правые части уравнений, получаем

			cos sin 1							2 ,
		cos						sin
		cos						sin						1 2 ,
cos sin	2										2 cos

					2
					2		2						4
					1
cos						,						,		.
cos	4				2	,			4	3		,	12	.
	4				2				4	3			12
Из рис. 12 видно,				что			искомая площадь равна сумме

площадей S1 и S2 двух сегментов, причем сегменты примыка-

ют друг к другу по лучу 12. Дуга первого сегмента опи-

сывается концом полярного радиуса r 12 sin при изме-

нении полярного угла от 4 до 12, поэтому

		1	12										2					1	12	1						2
		1											2					1		1						2
S1				1				2 sin d															2 sin sin				d
S1		2		1				2 sin d										2		2			2 sin sin				d
		2	4															2	4	2
1											12					1 12


					2 cos												1 cos2 d
					2 cos												1 cos2 d
2		2										4				4 4
2		2										4				4 4
																									12
1									2				3					1			sin2



															1
		24								2					1			4				2
2		24		8						2								4				2
																									4
																									4
	1						2							1				1				1		5			2
	1						2			3				1				1				1		5			2	3
																													.
						8																2							.
12 2						8								4		12 4 4						2		6 16			8

Дуга второго сегмента описывается концом полярного радиуса r cos при изменении полярного угла от 12 до 2, поэтому

		1	2	2		1	2	1	sin2	2
										2

S			cos		d		1 cos2 d
S			cos		d		1 cos2 d
	2	2 12				4 12		4	2	12
		2 12				4 12		4	2	12
							68

1			1		5	1
							.
	2
4		12	4	48		16

Таким образом, искомая площадь равна

S S		S			13		1	2 3	.
	1		2					8
				48		4

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

Решить задачи: [19], 6.456, 6.470, 6.478, 6.480, 6.485, 6.494, 6.502, 6.509, 6.512, 6.521, 6.534, 6.535, 6.537, 6.562, 6.575.

Форма отчетности: устный опрос, контрольная работа, коллоквиум.

ЗАНЯТИЕ № 18

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ. УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ И НОРМАЛИ К ПОВЕРХНОСТИ. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ.

МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА. НАИБОЛЬШЕЕ

ИНАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ. ФУНКЦИИ

ВЗАМКНУТОЙ ОБЛАСТИ

Литература: [12], с. 272-276; [13], с. 434-437;[20], с. 172174, с. 183-189.

Контрольные вопросы и задания

1.Как находить производные неявных функций (случай функции одной переменной ) ?

2.Как находить произволные неявных функций (случай функции нескольки переменных ) ?

1.Дать определение касательной и нормали к

поверхности и вычислить их уравнения.

4.Какова постановка задачи на нахождение условного экстремума функции нескольких переменных?

5. Каковы необходимые условия условного экстремума? Докажите их.

6.В чем состоит метод множителей Лагранжа? Что такое функция Лагранжа?

7.Каковы достаточные условия условного экстремума?

8.Как по знаку второго дифференциала вспомогательной функции определить характер условного экстремума?

9.Как найти наибольшее или наименьшее значение функции нескольких переменных в замкнутой области?

10.Какие точки функции называются стационарными?

11.Как исследуются функции на границе области?

12.Как задача на нахождение наибольшего, наименьшего значения в замкнутой области связана с задачей на условный экстремум?

Примеры решения задач Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z 10xy2 x2 10x 1 на отрезке AB , если координаты точек

A 7,0 , B 0,2 .

Решение. Уравнение прямой AB в отрезках x y 1. Таким

7 2

образом, получаем задачу на условный экстремум: найти экс-

тремум функции z 10xy2 x2 10x 1 при условии

x y 1. Составляем функцию Лагранжа:

7 2

L x, y, 10xy2	x2			x		y
		10x 1					1 .

			7		2

Ищем стационарные точки этой функции:

Источник: https://studfile.net/preview/16565425/

Смотрите также:




_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога