Материал: Задачи и упражнения для организации самостоятельной работы по дисциплинам «Математика», «Спецглавы математики». Катрахова А.А., Васильев Е.М

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

L

10y2 x 10

 

0

 

 

 

 

 

x

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

20xy

0

 

 

 

 

 

 

 

 

y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

x

 

 

y

1 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 2

 

 

 

 

 

Первое уравнение умножим на 7, второе на 2 и сложим

их. Этим исключим параметр из системы:

 

70y2 40xy 14x 70 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

7y

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

Непосредственной подстановкой приходим к уравнению,

которое после сокращений имеет вид 30y2 47y 4 0. Отсю-

да находим y1 1,5, y2 0,1

и из системы получаем точки

M1 1,75;1,5 ,M2 6,65;0,1 ,

принадлежащие отрезку AB

.Вычисляем значения функции в стационарных точках

z M1 z 1,75;1,5 25,9,

z M2 z 6,65;0,1 22,9

и на концах отрезка

 

 

z A z 7;0 20,

z B z 0;2 1.

Сравнивая все полученные величины, приходим к выводу: наибольшее значение функции на отрезке достигается в точке A, а наименьшее в точке M1.

Пример 2.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z 2x3 6xy 3y2 в замкнутой области, ограниченной осью

Oy , прямой y 2 и параболой y x22 при x 0 (рис. 13).

71

y

 

 

 

2 A

Q

 

B

1

H

 

 

 

P

 

 

O

 

 

x

0

1 2

2

Рис. 13

Решение.

1) Находим стационарные точки функции.

 

z

6x2 6y;

z

6x 6y .

 

 

 

 

x

 

 

 

y

 

 

 

6x

2

6y 0

 

 

 

 

Решив систему уравнений

 

 

 

,

 

6x 6y 0

получим две стационарные точки O 0,0 и H 1,1 . Первая из них принадлежит границе области. Следовательно, если функция z принимает наибольшее (наименьшее) значение во внутренней точке области, то это может быть только в точке H 1,1 .

Найдем z(H) z(1;1) 1.

2) Исследуем функцию на границе области

а) на отрезке OA имеем x 0, поэтому z 3y2 0 y 2 - возрастающая функция одной переменой y ; наибольшее и наименьшее значения она принимает на концах отрезка OA.

Найдем z O z 0;0 0;

z A z 0;2 12;

б) на отрезке AB имеем y 2 , следовательно,

z 2x3 12x 12 0 x 2 представляет функцию одной переменной x; ее наибольшее и наименьшее значения находятся среди ее значений в критических точках и на концах отрезка. Решая уравнение z 6x2 12 0, находим x1,2 2. Внутри

72

отрезка 0 x 2 имеется лишь одна критическая точка x 2

; соответствующей точкой отрезка AB является точка Q 2;2 . Итак, наибольшее и наименьшее значения функции z на отрезке AB находятся среди ее значений в точках A, Q и B. Най-

дем z Q z

 

2;2 12 8

 

 

 

z B z 2;2 4;

 

 

2;

 

 

 

 

 

в)

на дуге

 

 

OB

параболы y x2 2

имеем

z

3

x4 x3

0 x 2 . Решая уравнение z 3x3 3x2

0, по-

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

лучим x1 0

 

и

x2 1; соответствующими точками параболы

являются точки O 0,0 и

P1;1 2 . Таким образом, наибольшее

и наименьшее значения функции z на дуге OB находятся среди ее значений в точках O, P и B. Найдемz P z 1;12 14

.

3)

Сравнивая значения функции z 2x3 6xy 3y2 в точ-

ках H ,

O, A, Q, B и P, получим решение задачи

 

zнаиб z A 12,

zнаим z H 1.

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

Решить задачи: [6], 3.25, 3.26, 3.27, 3.28, 3.35, 3.36, 3.37, 3.38.

Форма отчетности: устный опрос, контрольная работа.

ЗАНЯТИЕ № 19

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ПРИВОДЯЩИЕСЯ К ОДНОРОДНЫМ

Литература: [12], c. 25-30; [13], c. 113-114; [20], c. 190-192; [33], c. 7-11.

73

Контрольные вопросы и задания

1.Какие уравнения первого порядка называются однородными?

2.Как решаются такие уравнения?

3.Укажите вид уравнений, приводящихся к однородным.

4.Какие два случая различают при решении таких уравнений? Каков алгоритм решения в каждом из этих случаев?

Пример решения задачи Пример. Решить дифференциальное уравнение

y 2 dx 2x y 6 dy 0.

Решение. Приведем уравнение к виду y

y 2

. Это урав-

 

 

2x y 6

нение можно привести к однородному. Сделаем подстановку

 

x u x0 ,

y v y0 .

Подберем x0

и

y0

так, чтобы

 

y 2 0

 

 

. Решая систему, находим x0 2,

y0 2. То-

 

0

 

 

 

 

 

 

 

2x0 y0 6 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

гда исходное уравнение принимает вид

dv

 

 

v

, т.е. являет-

 

2u v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

ся

однородным. Совершая

подстановку v ut u , получим

t u

dt

 

 

 

ut

. Далее, разделив переменные, получим урав-

du

 

2u ut

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 2

 

du

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нение

 

 

 

dt

 

 

 

, проинтегрировав которое будем иметь

 

t t 1

u

 

t

2

 

 

C

 

 

 

 

 

 

v

y 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Учитывая, что t

 

 

 

записываем общий инте-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 1

u

 

 

 

 

 

 

u

x 2

 

 

 

y 2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

грал исходного дифференциального уравнения

 

 

C .

 

 

x y 4 Разберите также решения примеров № 552, 553 [3].

74

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

 

dy

2

 

y 1

2

2) x y 2 dx 3x y 2 dy 0;

1)

 

;

dx

 

 

 

x y 2

 

 

 

3x 4y 2

 

 

 

3) x y 1 dx 2x 2y 1 dy 0;

4) y

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x 4y 3

5) Определить кривые, у которых отрезок касательной от точки касания M до пересечения с осью Ox равен отрезку, отсекаемому касательной от оси Ox.

Форма отчетности: устный опрос, типовой расчет.

ЗАНЯТИЕ № 20

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ

Литература: [12], c. 30-35; [20], c. 192-194; [33], c. 11.

Контрольные вопросы и задания

1.Какие уравнения первого порядка называются линейными?

2.Какими методами решаются линейные дифференциальные уравнения?

3.В чем состоит метод Бернулли?

4.В чем состоит метод Лагранжа?

5.Какой вид имеет уравнение Бернулли?

6.Приведение уравнения Бернулли к линейным уравнениям?

7.Можно ли решать уравнение Бернулли, не приводя его к линейному виду?

Пример решения задачи Пример. Решить дифференциальное уравнение

75

Источник: https://studfile.net/preview/16565425/

Смотрите также:

_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога