Материал: Задачи и упражнения для организации самостоятельной работы по дисциплинам «Математика», «Спецглавы математики». Катрахова А.А., Васильев Е.М

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

y 4 y x y . x

Решение.Это

уравнение

Бернулли с

n 1 2.

Полагаем

y x u x v x .

Получаем

уравнение

uv x uv

u v uv

v x uv . Подберем такую функцию v x ,

или u v u v

чтобы выражение в скобках было равно нулю, т.е. решим диф-

ференциальное уравнение v	4	v 0. Находим	v x4. Решаем

	x

затем уравнение u x4 xux4 и получаем его общее решение

. Следовательно, общее решение исходного урав-

нения

. Нетрудно заметить, что y 0

явля-

ется особым решение исходного уравнения.

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

Решить задачи: №№ 4038, 4039, 4041, 4043, 4044 [17].

Форма отчетности: устный опрос, типовой расчет.

ЗАНЯТИЕ № 21

УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА, НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ (КЛЕРО, ЛАГРАНЖА)

Литература: [12], c. 47-50; [33].

Контрольные вопросы и задания

1.Какие уравнения называются уравнениями Клеро?

2.Какая вспомогательная замена вводится при решении уравнений Клеро?

3.Что такое особое решение уравнения Клеро и каким свойством оно обладает?

4.Каков общий вид уравнений Лагранжа?

5.Какой вид уравнений более общий Клеро или Лагран-

жа?

6.Какой заменой решается уравнение Лагранжа?

7.Что такое особое решение уравнения Лагранжа?

8.Как ищется общее решение уравнения Лагранжа?

Примеры решения задач Пример 1. Решить уравнение y xy y 2.

Решение. Уравнение имеет вид (5.2), т.е. это уравнение Клеро. Положим y p. Тогда заданное уравнение принимает вид

y px p2.	Продифференцировав		его	по x,	имеем
y p x p 2pp ,		или p x 2p 0с	учетом y p.		Если
p 0, то	p C	и общее решение данного уравнения есть
y Cx C2 . Если		x 2p 0, то получаем y p 2p p2 . Осо-

x 2p

бое решение данного уравнения .

y p2

Исключая параметр p, находим особое решение в явном виде

y x2 .

Пример 2. Решить уравнение y x 1 y y 2 .

Решение. Уравнение имеет вид (5.1), т.е. это уравнение Лагранжа. Положим y p. Тогда заданное уравнение принимает

вид

y x 1 p p2.

Продифференцировав его поx,

имеем

y 1 p xp 2pp ,

откуда

x 2p

1 0. Из

этого

уравнения получаем

x 2p – линейное относительное x

уравнение.

Решим

его

методом

Бернулли.

Полагая

x p u p v p ,

получаем

u v uv uv 2p

или

Находим v,

приравнивая скобку к нулю,

uv u v

v 2p.

разделяя

переменные

интегрируя:

dp ,

v v 0,

p, v e

2p.

Тогда уравнение примет вид ue

Отсюда

u 2 pepdp 2ep p 1 C.

Учитывая,

что

x 1 p p2 ,

получим y 2 2p Ce p 1 p p2.

Таким

образом, общее решение уравнения имеет вид (в параметрической форме)

x 2 2p Ce p
	.
	.
y 2 2p Ce p 1 p p2

Особого решения данное уравнение не имеет.

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

1)	y xy y y 2;	2) y xy 3 y 3;
3)	y x y 2 y 2;	4) y x 1 y y 2 .
		78

Форма отчетности: устный опрос, самостоятельная работа.

ЗАНЯТИЕ № 22

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА

Литература: [12], c. 56-66; [29], c. 196-198; [33], c. 12.

Указание. Перед изучением этой темы повторите все виды уравнений первого порядка и способы их решения.

Контрольные вопросы и задания

1.Какие уравнения второго порядка приводятся к уравнениям первого порядка?

2.Как решаются уравнения вида y f x ?

3. Как решаются уравнения вида y n f x ?

4.Как решаются уравнения видаF x,y ,y 0?

5.Как решаются уравнения вида F x, y n 1 , y n 0?

6.Как решаются уравнения видаF y,y ,y 0?

7.Можно ли понизить порядок дифференциального уравнения вида F y, y , y , , y n 0?

Примеры решения задач Пример 1. Найти частное решение дифференциального уравне-

ния y xe2x , удовлетворяющее заданным начальным услови-

ям y 0 1, y 0 2.

Решение. Интегрируя левую			и правую	части, находим
y xe2xdx	1	e2x 2x 1 C1.	Повторное	интегрирование

4
79

приводит к общему решению y 1e2x x 1 C1x C2. Учиты-

вая начальные условия, записываем систему уравнений для определения постоянных C1 и C2:

y 0	1		1 C		2	1	C				5
y 0			1 C			1	C
								2
	4								4 .
	4								4 .
		1								9
y 0	4			1 C1		2	C1
	4								4

Подставляя найденные значения постоянных в общее решение уравнения, получаем искомое частное решение

e2x x 1

4 4

Пример 2. Решить уравнение y

y ctg x 2xsin x.

Поло-

Решение. Данное уравнение имеет вид F x,y

жим y p x . Тогда y	p x . Получаем дифференциальное
уравнение первого порядка	p pctg x 2xsin x – линейное от-

носительно неизвестной функции p x . Его общее решение p x2 C1 sinx, т.е. y x2 C1 sinx. Интегрируя это равен-

ство, найдем общее решение исходного уравнения y x2 C1 cosx 2xsin 2cosx C2 .

Пример 3. Найти частное решение дифференциального уравне-

ния 1 yy y 1 y 2 y , удовлетворяющее начальным ус-

ловиям y 0 y 0 1.
					0.	Подста-
Решение. Данное уравнение имеет видF y,y ,y
новка y p y ,	y	dp	p приводит	его к		виду

		dy
	80

Источник: https://studfile.net/preview/16565425/

Смотрите также:




_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога