Материал: Задачи и упражнения для организации самостоятельной работы по дисциплинам «Математика», «Спецглавы математики». Катрахова А.А., Васильев Е.М

1 py p dpdy 1 p2 p , откуда p 0, т.е. y C (это решение

не удовлетворяет начальным условиям), или dp 1 p2 . Полу- dy 1 py

ченное дифференциальное уравнение первого порядка не относится к уравнениям известного нам типа. Перепишем его в виде

Это линейное уравнение относительно функции y p . Его об-

Теперь необходимо решить дифференциальное уравнение

Но в общем виде решить его достаточно сложно. Так как нам нужно найти частное решение исходного уравнения, то воспользуемся начальными условиями для определения постоян-

зом, нам достаточно решить уравнение y dy , откуда y C2ex dx

.Учитывая начальное условие y 0 1, находим C2 1 и записываем искомое частное решение yч ex .

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

Решить задачи: №№ 4155, 4156, 4160, 4161, 4165, 4166, 6470, 4178 [17].

81

Форма отчетности: устный опрос, контрольная работа, типовой расчет.

ЗАНЯТИЕ № 23

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ СО СПЕЦИАЛЬНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ. МЕТОД ЛАГРАНЖА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ 2- ГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Литература: [12], c.79-80, 92-94; [13], c.135; [20], c. 198204 ; [33], c. 33-35.

Указание. Перед изучением этой темы повторить тему "Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами второго порядка".

Контрольные вопросы и задания

1.Какова структура общего решения неоднородного уравнения?

2.Что такое характеристическое уравнение и как оно составляется для линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами?

3.Как строится общее решение однородного уравнения в зависимости от характера корней характеристического уравнения?

4.Какой вид правой части неоднородного уравнения называют специальным?

5.Как по виду правой части записывается частное решение неоднородного уравнения с неопределенными коэффициентами?

6.В чем состоит метод неопределенных коэффициентов нахождения частного решения неоднородного уравнения?

82

7. В чем состоит метод Лагранжа для уравнений 2 - го порядка c переменными коэффициентами ?

Примеры решения задач Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравне-

ния y y f x , где а) f x 3x2 2x 5, б) f x 2xex, в) f x 3sin2x 5xcos2x.

Решение. Характеристическое уравнение k3 k2 0 имеет корни k1 k2 0 и k3 1. Поэтому общее решение однородно-

го уравнения yоо C1 C2x C3ex . Найдем частные решения

неоднородного уравнения для случаев а) – в).

а) Контрольное число i 0 – корень характеристического уравнения кратности 2 и в правой части стоит многочлен второй степени. Поэтому частное решение неоднородного уравне-

ния будем искать в виде yчн x2 Ax2 Bx C . Для определе-

иподставляем их в исходное уравнение. Получаем

12Ax2 24A 6B x 6B 2C 3x2 2x 5, откуда имеем систему уравнений

б) Контрольное число i 1 – корень характеристического уравнения кратности 1 и в правой части стоит произведение экспоненты на многочлен первой степени. Поэтому частное

83

решение неоднородного уравнения будем искать в виде yчн x Ax B ex. Для определения неизвестных коэффициен-

в) Контрольное число i 2i не является корнем характеристического уравнения и в правой части стоят произведения синуса и косинуса на многочлены, старшая степень которых равна 1. Поэтому частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде yчн Ax B cos2x Cx D sin2x. Для определения неизвестных коэффициентов A, B, C, D вычис-

8Ax 8B 12C sin2x 4Ax 4B 4C cos2x ( 4Cx 4D

4A)sin2x 3sin2x 5xcos2x или 4A 8C xcos2x

8A 4C xsin2x 12A 4B 4C 8D cos2x (4A 8B

12C 4D)sin2x 3sin2x 5xcos2x , откуда имеем систему уравнений

84