Материал: Задачи и упражнения для организации самостоятельной работы по дисциплинам «Математика», «Спецглавы математики». Катрахова А.А., Васильев Е.М

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Решение. Подынтегральная функция f z 2z 1 cos z

 

 

z

 

 

z 1

имеет внутри круга

 

 

2 одну особую точку

z0 1, которая

 

 

является существенно особой (рис. 26). Поэтому для вычисле-

ния вычета

 

в

 

точке

z0 1

 

применим

 

 

формулу

Res f z

,1 c

1

,

где

c

 

- коэффициент ряда Лорана при

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 1

1

.

 

Имеем

 

 

 

z

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

cos

 

 

cos 1

 

 

 

cos1 cos

 

 

 

sin1

 

 

 

 

z 1

 

z 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

sin

 

 

 

 

cos1 1

 

 

 

 

 

sin1

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

3

 

z 1

 

 

 

 

2! z 1

 

 

 

 

 

 

3! z

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 1

 

 

 

Так как 2z 1 2 z 1 1, то c 1 cos1 sin1 . Следователь-

но 2z 1 cos

z

dz 2 i cos1 sin1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

2

z 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

Пример 5. Вычислить интеграл I

 

 

 

.

x2

1

4

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Введем функцию f z

 

 

1

 

,

которая на дейст-

z2

1 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вительной оси (z x) совпадает с подынтегральной функцией, которая является дробно-рациональной. Функция f z имеет в

верхней полуплоскости (Imz 0)

единственный полюс четве-

того

порядка

z

0

i. Поэтому

I 2 i Res f

z , i , где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Res f z , i

1

 

1

 

 

 

 

 

5

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i. Отсюда I

 

.

 

 

3!

z i

4

 

 

 

 

32

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

126

 

 

 

 

 

Задачи и упражнения для самостоятельной работы

1)

 

Найти вычеты функции

f z

 

 

в ее особых точках:

 

 

а)

f z

 

ez

 

;

 

б)

f z

sinz2

; в)

f z z3 sin

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 1 3 z 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z3

 

z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

Вычислить интегралы: а)

C

 

 

 

 

 

 

 

dz, где C :

 

z

 

3;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2 1 z 2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tgzdz, где

 

z3 sin

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

C :

 

z

 

2;

в)

dz,

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C :

 

z

 

1;г)

 

sin

dz , где C :

 

z

 

2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

z 1

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

Вычислить несобственные интегралы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

cosxdx

 

 

0

 

 

xsin xdx

 

 

 

а)

 

x 1

dx ;

б)

 

 

 

;

в)

 

 

;

г)

 

 

 

.

 

4

 

 

 

 

3

 

 

2

 

 

2

0

 

 

x 1

x2 1

0

1 x2

 

x

4x 20

 

 

Форма отчетности:устный опрос, типовой расчет, коллоквиум.

ЗАНЯТИЕ № 38-39

ГРАФИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ФУНКЦИИ-ОРИГИНАЛА, НАХОЖДЕНИЕ ЕЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ

Литература: [21], с. 251-259; [12], с. 413-422; 439-442; [28], с. 74-98, 142-150.

Контрольные вопросы и задания

1. Что такое единичная функция Хевисайда? Как она используется при построении функции-оригинала?

127

2.Как осуществляется переход к аналитическому выражению для функций-оригиналов, заданных графически?

3.Как находится изображение кусочно-аналитической функции-оригинала? Какие теоремы операционного исчисления при этом используются?

4.Как осуществляется изображение периодического оригинала?

5.Какие теоремы операционного исчисления при этом используются?

6.Какая функция называется полигональной функции?

7.В каких инженерных приложениях используется графическое задание функции-оригинала?

 

 

Примеры решения задач

 

 

 

 

Пример 1. Найти изображение F(p)

функции

 

f (t), за-

данной графически (рис. 27).

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Найдем аналитическое выражение для

f (t):

0,

t t1

 

 

0,

 

 

t t1

 

 

 

t1 t t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A,

или

f (t)

A (t t1), t1 t t2

.

f (t)

t2 t t3

 

 

 

 

 

 

B,

 

 

B (t t2 ), t2 t t3

 

C, t t

3

 

 

C (t t

3

), t t

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для всех t

0 получим

 

 

 

 

 

 

 

 

f(t) A (t t1) A (t t2) B (t t2) B (t t3) C (t t3)

A (t t1) (A B) (t t2) (C B) (t t3).

Пользуясь свойством линейности и теоремой запаздывания , находим искомое изображение:

F(p) Ae t1 p A B e t2 p C B e t3 p. p p p

128

 

 

 

 

Рис. 27

Рис. 28

 

Пример 2. Найти изображение F(p) функции

f (t), за-

данной графически (рис. 28).

 

 

Решение. Найдем аналитическое выражение для

f (t):

b (t),

0 t a

 

 

 

 

 

 

 

b

t (t a),

a t 2a

 

 

 

 

 

 

 

 

f (t) a

b

 

 

 

2

(t 2,5a) (t 2a),

2a t 3a

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

t 3a

 

0,

 

 

 

Для всех t 0 получим

129

f (t) b (t) b (t a) b t (t a) b t (t 2a)

 

 

a

a

2

b

(t 2,5a) (t 2a) 2

b

(t 2,5a) (t 3a)

 

 

aa

b (t) b (t a) (t a) b (3t 5a) (t 2a)

aa

2 b (t 2,5a) (t 3a) b (t) b (t a) (t a)

a

a

3 b (t 2a) (t 2a) b (t 2a) a

2 b (t 3a) (t 3a) b (t 3a). a

Пользуясь свойством линейности и теоремой запаздывания , находим искомое изображение:

F(p)

b

 

b

e ap

 

3b

 

e 2ap

b

e 2ap

2b

e 3ap

b

e 3ap

 

ap2

ap2

 

ap2

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

p

 

b

 

b

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e ap 1

 

 

b

e 2ap 1

 

b

e 3ap.

 

 

 

2

 

 

 

 

 

p

ap

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ap

 

ap

 

 

 

Пример 3. Найти изображение F(p) периодической функции f (t), заданной графически (рис. 29).

Рис. 29

Решение. Из рисунка видно, что период функции T 3. Найдем аналитическое выражение для f (t) на отрезке [0,T]:

130

Источник: https://studfile.net/preview/16565425/

Смотрите также:

_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога