Материал: Задачи и упражнения для организации самостоятельной работы по дисциплинам «Математика», «Спецглавы математики». Катрахова А.А., Васильев Е.М

угловой коэффициент прямой, параллельно данной k2 =k1 = -2. Запишем уравнение искомой прямой. По формуле y y0 k(x x0 ) получаем у-4=-2(х-1), т.е. 2х+у-6=0.

Пример 5. Найти расстояние между параллельными прямыми 3х+4у-20=0 и 6х+8у+5=0.

Решение. Возьмём на первой прямой произвольную точку А. Пусть, например, х=0, тогда у=5, т.е. А(0,5).

По формуле d Ax0 By0 C . найдем расстояние от точки до

A2 B2

второй прямой, получим:

d 6 0 8 5 5 45 4,5.

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

1) Доказать, что условие принадлежности трех точек М1 (х1 , у1), М2 (х2 , у2 ) и М3 (х3 , у3 ) одной прямой можно записать в виде:

x1 y1 1 x2 y2 1 0 x3 y3 1

2) Решить задачи [6], №№ 215, 223, 227, 234, 266, 312, 322. Форма отчетности: устный опрос, контрольная работа.

ЗАНЯТИЕ № 8

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОБЩЕГО УРА ВНЕНИЯ КРИВОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ

Литература: [1], c. 129-139.; [15], c. 138 -146;

26

[16],c. 45-48, c. 60-61.

Контрольные вопросы и задания

1.Какой вид имеет общее уравнение кривой второго по-

рядка?

2.Какой вид имеют канонические уравнения эллипса, окружности, гиперболы, параболы?

3.Запишите преобразование координат при повороте системы координат на угол .

4.Запишите преобразование координат при параллельном переносе системы координат.

5.Каков алгоритм приведения общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду с помощью преобразования системы координат?

Примеры решения задач Пример. Привести к каноническому виду уравнение

29x2 24xy 36y2 82x 96y 91 0,

изобразить на чертеже оси координатных систем и геометрический образ, определяемый данным уравнением.

Решение. Записываем формулы преобразования координат, соответствующего повороту осей на угол

x x cos y sin , y x sin y cos

и подставляем их в исходное уравнение. После перегруппировки слагаемых получаем

x 2 29cos2 24cos sin 36sin2

y 2 29sin2 24sin cos 36cos2

xy 24cos2 24sin2 14sin cos

x 82cos 96sin y 82sin 96cos 91 0.

Находим угол поворота из условия равенства нулю коэффициента при x y , т.е.

27

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

Решить задачи: [6], 676(1-5), 693(1-3).

Форма отчетности: устный опрос, контрольная работа.

ЗАНЯТИЕ № 9

КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. МЕТОД СЕЧЕНИЙ

Литература: [3], c. 157-164; [1], c. 229-242; [15], c. 147-157; [16],c. 67-76.

Контрольные вопросы и задания

1.Классификация поверхностей второго порядка. Какие канонические уравнения и вид имеют эллипсоид, однополостный и двуполостный гиперболоиды?

2.Как записать уравнение сферы радиуса R с центром в

точке a, b, c ? Как связано оно с уравнением эллипсоида?

3.Какие канонические уравнения и вид имеют эллиптический и гиперболический параболоиды?

4.Какие канонические уравнения и вид имеют цилиндрические поверхности?

5.Какое каноническое уравнение и вид имеет конус второго порядка?

6.Как определяется вид поверхности методом параллельных сечений?

Пример решения задачи Пример. Методом сечений исследовать форму и построить по-

верхность, заданную уравнением x2 2yz 1.

Решение.

29

1)В сечении поверхности плоскостью z 0 имеем две параллельные прямые x 1.

2)В сечении поверхности плоскостями z z0 0 имеем

30