Материал: Дифференциальное и интегральное исчисления. учебное пособие. Ряжских В.И., Ряжских А.В

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

13.2. Формула Тейлора для произвольной функции

Теорема. Если y f x

определена

некоторой

окрестности

точки x0

и имеет в ней

производные

до n 1 го порядка

включительно, то x из этой

окрестности найдется точка c x0 , x ,

такая, что

f x f x

x x

...

f n

x x

f n 1 c

x x

n 1

n 1 !

где c x0

x x0 ,

0 1.

Это формула Тейлора, а при x0 0 формула Маклорена.

R x

f n 1 c

x x

n 1

n 1 !

остаточный член.

Глава 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

14. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

14.1.Понятие неопределенного интеграла

Вдифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f x найти ее производную (дифференциал). Интегральное

исчисление решает обратную задачу: найти функцию F x , зная ее производную F x f x (или дифференциал).

Определение. Функция F x называется первообразной функ-

ции для f x на a,b , если x a,b :

F x f x dF x f x dx .


Теорема. Если F x первообразная	для f x	на a,b , то
множество всех первообразных задается	формулой	F x С, где

С const.

□	F x С F x С f x . Пусть

	x f x ,тогда
	x f x ,тогда
		x F x	f x f x 0
		x F x	f x f x 0

теперь x F x	и
x F x C.	■

Определение.		Множество		всех	первообразных функций
F x С для	f x	называется неопределенным				интегралом от
функции f x и обозначается символом
			f x dx F x С.
f x подынтегральная			функция,	f x dx подынтегральное выра-
жение, x переменная			интегрирования,		знак	неопределенного

интеграла.

Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.

Для всякой ли функции существует неопределенный интеграл? Имеет место утверждение: «Всякая непрерывная на a,b функ-

ция имеет на этом промежутке первообразную».

14.2. Свойства неопределенного интеграла

f x dx,

f x

1) d

f x dx

□ d

x dx d F x C dF x dC F x dx f x dx

x dx

F x C F x C

f x .

■

2) dF x F x C

□ dF x F x dx f x dx F x C.

■

3) f x dx f x dx,

0 постоянная

□

f x dx

F x dx

d F x F x C

F x

F x C

f x dx.

			f x dx	g x dx .
4)	f x g x dx
□ Пусть F x f x ,		G x	g x , тогда

■

f x g x dx

F x G x dx

x G x dx

d F x G x F x G x C F x

G x C

f x dx g x dx. ■

Если f x dx F x С,то и f u du F u С.

□ Пусть u x , тогда F u

F x

поэтому

dF u F u du f u du

u du

F u C.

d F u

■

14.3. Таблица основных неопределенных интегралов

Таблица 2

xn dx

xn 1

C n 1

n 1

tg x C;

cos2 x

dx x C

;

ctg x C;

sin2 x

Окончание табл. 2

ax dx

sin x

ln a

ex dx ex C;

cos x

sin xdx cos x C;

arcsin

a2 x2

cos xdx sin x C;

x2 a2

tg xdx ln

cos x

arctg

ctg xdx ln

sin x

a x

15. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

15.1. Метод непосредственного интегрирования

Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.

15.2. Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)

Пусть требуется вычислить интеграл

f x dx.


Тогда x t		dx t dt и		f x dx		f t t dt.

15.3. Метод интегрирования по частям

Пусть u u x , v v x , тогда d uv udv vdu.

Интегрируя

d uv udv vdu, или udv uv vdu.

– формула интегрирования по частям.

Типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям:

1. Интегралы вида P x ekxdx, P x sin kx dx, P x cos kx dx,

где P x многочлен, k const.

Удобно положить u P x , dv остальное.

2.Интегралы вида P x arcsin kx dx, P x arccos kx dx,

P x arctg kx dx, P x arcctg kx dx, P x ln x dx.

Удобно положить P x dx dv.

Интегралы вида eax sin bx dx, eax cosbx dx, a,b const.

За u eax .

16. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

16.1.Понятие о рациональных функциях

Определение. Функция вида

P x a xn a xn 1 ... a						x a ,
	n	0	1	n 1		n
где n N, ai i
	0, n	постоянные		коэффициенты,			называется
многочленом, n степень многочлена.
Определение. Корнем многочлена называется x0: Pn x0 0.

Теорема. Если x1 корень Pn x ,				то	многочлен		делится без
остатка на x x1 .

Источник: https://studfile.net/preview/16568692/

Смотрите также:




Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27