Материал: Дифференциальное и интегральное исчисления. учебное пособие. Ряжских В.И., Ряжских А.В

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

17.ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

17.1. Универсальная тригонометрическая подстановка

Вычисление неопределенных интегралов типа

R sin x,cos x dx

сводится к вычислению интегралов от рациональной функции подстановкой

tg 2x t,

которая называется универсальной. Действительно,

 

2 tg

x

 

 

 

 

 

 

1

tg2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2t

 

 

 

 

 

1 t2

 

sin x

2

 

 

 

 

;

cos x

2

 

 

;

 

2 x

 

 

t2

 

 

 

 

 

 

1 t2

 

1 tg

1

 

 

1

tg

2

x

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2arctgt;

dx

2

dt, поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2t

 

 

1 t

2

 

 

 

2

 

 

R sin x,cos x dx R

 

;

 

 

 

 

 

dt R1 t dt.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 t

2

1 t

2

1

t

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь R1 t – рациональная функция от t. Обычно этот способ весьма

громоздкий, зато он всегда приводит к результату.

На практике применяют и другие, более простые подстановки, в зависимости от свойств и вида подынтегральной функции. В частности, удобны следующие правила:

1) если R sin x,cos x нечетна по sin x, т.е.

R sin x,cos x R sin x,cos x ,

то подстановка cos x t;

2) если R sin x,cos x нечетна по cos x, т.е.

R sin x, cos x R sin x,cos x ,

то подстановка sin x t;

56

3) если R sin x,cos x четна по sin x и cos x, т.е.

R sin x, cos x R sin x,cos x ,

то подстановка tg x t. Такая же подстановка применяется, если

R tg x dx.

Пример. Найти интеграл

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 sin x cos x

 

 

 

 

Решение: t tg

x

,

тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

2

 

dt;

 

sin x

 

 

2t

;

 

cos x

1 t2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t2

 

 

 

t2

 

1 t2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2dt

 

 

 

 

 

 

2dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 sin x cos x

 

3

 

2t

 

 

1 t 2

 

1 t 2

3 3t 2 2t 1 t 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 t

2

1 t

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

d t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2 t 2 t 2

t2 t 2

 

 

1

2

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 tg

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctg

2

 

 

C

 

arctg

 

 

 

 

2

 

 

C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

7

 

7

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример. Найти интеграл

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 sin2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R sin x, cos x

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

R sin x,cos x , то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin2 x

 

 

sin2

 

 

 

 

 

1

1

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg x t

 

x arctgt;

dx

 

 

 

dt

 

,

 

sin2 x

tg2 x

 

 

 

t2

,

 

1 t2

 

1 tg2

x

1 t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

57

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

1

 

 

 

 

d

2t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2t2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

2

 

 

 

2t

 

 

 

 

1 t2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1 t

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

arctg

 

 

 

 

 

 

 

 

arctg

 

2t C

 

2 tg x C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17.2. Интегралы типа sinm x cosn x dx

Для нахождения таких интегралов используются следующие приемы:

1)подстановка sin x t, если n целое положительное нечетное

число;

2)подстановка cos x t,если m целое положительное нечетное

число; 3) формулы понижения порядка:

 

cos2 x

1

1 cos 2x ;

sin2 x

1

1 cos 2x ;

sin x cos x

1

sin 2x,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

если m и n целые неотрицательные четные числа;

 

4)

подстановка

tg x t,

если

 

 

m n четное неотрицательное

число.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример. Найти интеграл

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin4 x cos5 x dx.

 

 

 

 

 

 

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x t;

x arcsin t;

dx

 

 

 

dt;

cos x 1 t 2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin4 x cos5 x dx t 4

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

t 4 1 t 2 2dt t 4 2t6 t8 dt

1 t 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 t 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

t5

2

t7

1

t9

C

 

 

1

sin5 x

2

sin7 x

1

sin9

x C.

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

7

 

 

 

9

 

 

5

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

58

Пример. Найти интеграл

sin4 x cos2 x dx.

Решение:

sin4 x cos2 x dx sin2 x cos2 x sin2 xdx 14 sin22x 12 1 cos 2x dx

 

1

sin22xdx

1

sin2

2x cos 2xdx

 

1

 

1

1 cos 4x dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

sin22xd sin2x

1

 

 

x

1

 

sin 4x

 

1

 

 

sin32x C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

 

 

64

 

48

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример. Найти интеграл

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos 1x sin 3 x dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение: m n 4

 

 

 

 

tg x t;

x arctgt;

dx

 

dt

;

 

 

 

 

 

 

1 t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x

 

 

t

 

 

 

 

;

 

cos x

 

 

 

 

1

 

 

, поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

t 2

 

 

1

t 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 t2

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

1 t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

cos

 

x sin

 

x dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt t

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

t3

 

 

 

 

 

 

t3

 

 

t

 

 

1 t2 1 t2

21t2 ln t C 12 ctg2 x ln tg x C.

17.3.Использование тригонометрических преобразований

Интегралы типа

sin axcosbx dx,

cos axcosbx dx,

sin axsin bx dx

вычисляются с помощью известных формул тригонометрии:

59

 

sin x cos x

1

 

sin

sin ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos x cos x

1

cos cos

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin xsin x

1

 

cos

cos .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример. Найти интеграл

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin8x cos 2x dx.

 

 

 

 

 

 

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin8x cos 2x dx

1

 

sin 6x sin10x dx

1

 

 

1

cos 6x

 

1

 

C.

 

 

 

 

 

 

 

 

cos10x

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

6

10

 

 

18. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

18.1. Квадратичные иррациональности

Рассмотрим некоторые типы интегралов, содержащих иррациональные функции

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

mx n

 

 

 

 

 

,

ax2 bx c dx,

 

 

dx,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ax2

bx c

ax2 bx c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

которые называются неопределенными интегралами от ных иррациональностей.

Эти интегралы вычисляются следующим образом: 1) под радикалом выделить полный квадрат

ax2 bx c

 

 

b

 

c

 

b 2

c

 

b2

 

 

b 2

a x2

 

 

x

 

 

a x

 

 

 

 

 

 

 

 

a x

 

 

a

 

 

 

 

2

 

 

 

 

a

 

2a

 

 

a 4a

 

 

 

2a

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) сделать подстановку

x

 

b

 

t.

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

квадратич-

 

4ac b2

 

 

 

4a2

 

 

 

 

 

60

Источник: https://studfile.net/preview/16568692/

Смотрите также:

Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27