Материал: Дифференциальное и интегральное исчисления. учебное пособие. Ряжских В.И., Ряжских А.В

(Без доказательства)

Теорема. Всякий многочлен Pn x

можно представить в виде

Pn x a0 x x1 x x2 ... x xn ,

где x1, x2 ,...xn корни многочлена.

□ Пусть

Pn x : Pn x1 0,

тогда

Pn

x x x1 Pn 1 x ,

но

Pn 1 x : Pn 1 x2 0,

тогда

Pn x x x1

x x2 Pn 2 x

и

т.д.

Продолжая этот процесс, получим

Pn x a0 x x1 x x2 ... x xn .

■

Определение. Множители вида x xi будем называть линей-

ными.

Если в разложении Pn x

линейный множитель встречается k

раз, то такой корень называется корнем кратности k.

Теорема. Если Pn x 0, то ai

0

i

.

0, n

Теорема. Если Pn x Qn x ,

bi

i

.

то ai

0, n

Теорема. Всякий многочлен Pn x

может быть представлен в

виде

P

x a

x x

k1 x x k2

... x x kr

n

0

1

2

r

x2 p1x q1 s1 ... x2

pm x qm sm ,

при этом k1 k2 ... kr 2 s1

s2 ... sm .

Рациональная

дробь

называется правильной,

если m n,

в противном случае – неправильной.

Утверждение. Пусть даны Pm x и Qn x , m n,

тогда

Pm x

Lm n x

Rk x

,

k n .

Qn x

Qn x

Это можно сделать путем деления Pm x

на Qn x в столбик.

Определение. Правильные рациональные дроби вида

I

A

;

II

A

k 2 ;

III

Mx N

p2 4q 0 ;

x a

x a k

x2 px q

Mx N

IV

p2

4q 0

называются

простейшими

x2

px q k

рациональными дробями I, II, III, IV типов.

Теорема.

Всякую правильную

рациональную

дробь

P x

Q x ,

знаменатель которой разложен на множители

Q x x x1 k1

x x2 k2 ... x2 p1x q1 s1

... x2 pm x qm sm ,

P x

A1

A2

...

Ak1

Q x

x x1

x x

2

x x

k1

1

1

B

B

2 ...

Bk

k2

...

x x2

x x

x x

1

2

2

2

2

...

C x D

C x D

...

Cs

x Ds

...

1

1

2

2

1

1

x2

p1x q1

x2 p1x q1 2

x2 p1x q1

s1

...

M

1

x N

M

2

x N

2

...

M s x Ns

m

1

m

.

x2

pm x qm

x2 pm x qm 2

x2

pm x qm sm

Пример.

x2 4

A

B

C

D

1)

;

x 2 x 3 3

x 2

x 3

x 3 2

x 3 3

2)

x3

1

A

B

Cx D

;

2

2

2

2

1

1

x

x

x

x x

3)

7x2

8x 9

A

B

Cx D

Mx N

.

2

2

2

x

1

x 2

x x

1

x 1 x 2 x

2

x 1

x

2

x 1

2x2 3x 3

A

Bx C

, т.е.

x 1

x 2x 5

x 1

x

2x 5

2

2

2x 3x 3

2

A x

2

2x 5

x 1 Bx C

;

x 1

x2 2x 5

x 1

x2

2x 5

2 A B,

A 1; B 3; C 2

3 2A B C,

3 5A C,

2x2 3x 3

1

3x 2

.

x 1

x 2x 5

x 1 x

2x 5

2

2

I.

A

dx A

d x a

Aln

x a

C.

x a

x a

II.

A

dx A x a

k

d x a

A

x

a

k 1

C.

x a k

k 1

III. J

Mx N

dx

Mx N

dx

x2

px q

p

2

q

p2

x

2

4

p

p

p

2

= x

=t,

x=t

,

dx=dt;

q

=a2 =

2

2

4

p

M t

N

t dt

Mp

dt

2

=

dt = M

N

=

t2 a2

t2 a2

t 2 a2

2

M

ln t2

a2

Mp

1

t

=

N

arctg

C=

2

2

a

a

N

Mp

x

p

M

ln x2 px q2

=

2

arctg

2

C.

2

p

2

p

2

q

q

4

4

IV.

Mx N

dx,

k 2,

q

p2

0.

x2 px q k

4