Материал: Дифференциальное и интегральное исчисления. учебное пособие. Ряжских В.И., Ряжских А.В

dx

.

4x2 2x 1

dx

1 2

3

Решение:

4x2

2x 1

4

x

4x2 2x 1

4

16

x

1

t

dx

1

dx

4

2

1

x

1

2

3

1

2

3 x t

; dx dt

4

x

4

4

16

4

16

1

dt

1

3

1

1

1

2

3

ln

t t 2

C

ln

x

x

C.

2

t 2

3

2

16

2

4

4

16

16

Интегралы

типа

Pn x

dx,

где

P

x

многочлен

ax2 bx c

n

степени n, можно вычислить, пользуясь формулой

Pn x

dx Q

x

dx

ax2 bx c

,

n 1

ax2 bx c

ax2 bx c

где

Qn 1 x

многочлен

степени

n-1

с

неопределенными

Pn x

Q

x

ax2 bx c

,

ax

2

bx c

n 1

ax

2

bx c

I

x2

dx.

1

2x x2

61

I Ax B

dx

1 2x x2

,

1

2x x2

после дифференцирования

x2

2 2x

A 1 2x x2 Ax B

;

1 2x x2

2 1 2x x2

1

2x x2

т.е.

x2 A 1 2x x2

Ax B

1 x

;

x2 A 2 Ax Ax2 Ax Ax2 B Bx ;

x2 2 Ax2 3A B x A B ;

1 2 A;

3A B;

A

1

3

2

0

; B

;

2

2

A B .

0

1

3

dx

1

3

I

x

1 2x x2 2

x

1 2x x2

2 x 1 2

2

2

2

2

2arcsin

x 1

C.

2

18.2. Дробно-линейная подстановка

ax b

ax b

Интегралы типа R x,

,...,

dx, где a,b,c, d

cx d

cx d

действительные числа,

, ,..., , натуральные

числа,

сводятся к

следует x

b dtk

Действительно, из

подстановки

и

ct k a b dt k ckt k 1

ctk a

dx

d ktk 1

dt, т.е.

x и dx выражаются через

ctk a 2

x 2 t6 ;

x t6 2;

dx 6t5dt;

t 6 x 2

I

6t5dt

6

t2

dt 6 t2 1 1dt 6

t 1

1

dt 3t2

6t

t4 t3

t 1

t 1

t 1

18.3. Тригонометрическая подстановка

Интегралы типа

R x, a2 x2 dx;

R x, a2 x2 dx,

R x,

x2 a2 dx

x a sin t;

x a tgt;

x

a

.

sin t

63

I

4 x2

dx.

x

2

Решение. x 2sin t;

dx 2cost dt;

t arcsin

x

.

2

I

4 4sin

2 t

2cost dt

4cos2 t

dt

1 sin2 t

dt

dt

dt

4sin2 t

4sin2 t

sin2 t

sin2 t

x

x

ctgt t C C arcsin

ctg arcsin

.

2

2

18.4. Интегралы типа R x,

dx

ax2

bx c

x

b

t,

интегралы указанного типа можно привести к интегралам

2a

dt;

dt,

dt.

вида R t,

R t,

R t,

a2 t2

a2 t2

t 2 a2