Документ: Математические методы системного анализа и управления информационно-вычислительными, управляющими и сетевыми системами. Проскурин Д.К., Сысоев Д.В, страницы 21-25

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В СТРОИТЕЛЬНЫХ, СОЦИАЛЬНЫХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

ская величина является универсальной	Закон сохранения мощности постули-
тогда и только тогда, когда ясна ее связь с	рует постоянство скорости изменения пре-
пространством и временем. И, тем не менее,	образования энергии. На этом законе базиру-
до трактата Дж.К. Максвелла "Об электриче-	ется концепция устойчивого развития, раз-
стве и магнетизме" (1873) не была установ-	витие которой представлено трудами Побис-
лена связь размерности массы с длиной и	ка Кузнецова [2].
временем.

Рис. 1. Система пространственно-временных величин
Не нарушая концепции универсализма	Важным выводом является то, что для
для систем любого класса, можно применить	сложных динамических			систем		главным
универсальный словарь понятий для фор-	фактором является не устойчивость состоя-
мального описания любых систем, в том	ния, а устойчивость развития данных систем.
числе и слабо организованных, сложно под-	Оценить эту устойчивость можно на основе
дающихся формализации.	закона сохранения мощности [2].
Рассмотрим системы с высоким твор-	Рассмотрим модель развития сложной
ческим потенциалом, к таким системам от-	инновационной системы в соответствии с
носятся инновационные, образовательные,	законом сохранения мощности.
научные организации. Для измерения каче-	Представим инновацию, как информа-
ства таких систем применяют такие подходы	ционно-материальную систему, которая име-
как количественная и экспертная оценка ре-	ет определенный набор параметров (свойств)
зультативности, выраженная в различных	системы, совокупность которых определяет
показателях, например, таких как показатель	сущность данной системы. Параметры си-
Хирша, рейтинг, экономическая прибыль от	стемы (значения ее свойств) определяют
внедрения, число рационализаторских пред-	пространственное состояние системы – про-
ложений и т.д. Но, используя оценку различ-	странство состояний данной системы.
ных показателей, мы не оцениваем инте-	В формальном виде пространство со-
грально работу всей системы. Поэтому, воз-	стояний запишем следующим образом:
можны ситуации, что при наличии высоких		=<	, , … >,

рейтингов, качество всей системы остается		1	2

низким.	где – состояние системы, <				,	, … >,
				1	2

20

ВЫПУСК № 3-4 (17-18), 2019

ISSN 2618-7167

– набор параметров системы,

= {1 … } - диапазон изменения значений i-го параметра системы.

Таким образом, состояние системы характеризуется совокупностью конкретных

значений параметров системы.
Пространство			состояний	системы
= {	,	, … } – множество всех допусти-
1	2

мых значений всех параметров системы, или, другими словами, движение системы – это переход из одного состояния в другое состояние.

Потенциал системы – возможность достижения результата при имеющихся энергетических запасах.

Энергия запаса – начальная энергия, которая в процессе жизненного цикла системы претерпевает изменение и преобразуется в конечный экономический результат.

Экономический результат – это возможность удовлетворения потребностей общества с целью увеличения энергетического запаса.

Энергия запаса – запас различного вида ресурсов, необходимых для потребления в цикле производства и наличие производительных сил, которые преобразуют запас ресурсов в конечный результат, имеющий полезную мощность. В процессе эффективного экономического цикла полезная мощность должна быть больше начальной мощности или, другими словами, мощности запаса.

Функция эффективности примет следующий вид:

> 0, = +1 − – приращение полезной мощности;

где +1– полезная мощность последующего (i+1) периода; – полезная мощность предыдущего (i-го) периода;

Создание инновационной ценности – изменение состояния системы на величину приращения инновационной ценности при приращении времени .

= / ,

где – это приращение мощности. Может носить как положительный, так и отрицательный знак.

- период жизненного цикла системы, вы-

бирается в соответствии с экономическим (производственным, технологическим) циклом и может равняться году, месяцу, кварталу и т.д.

В качестве критерия эффективности системы используем показатель прироста полезной мощности инновационной системы.

Под развитием системы будем понимать достижение результата коммерциализации (социализации) новации, конечной цели внедрения.

Трактовать данное представление можно следующим образом: если приращение полезной мощности за цикл функционирования положительно, система эффективна.

Положительная величина приращения полезной мощности указывает на устойчивое развитие инновационной системы, что соответствует цели ее функционирования и достижению результата внедрения инновации.

Таким образом, задача управления инновационными системами сводится к задаче мониторинга состояния системы в заданные моменты времени, определении коэффициента приращения в момент времени t с показателем предыдущего приращения. При значении отношения приращения больше единицы - система эффективна, в противном случае, необходим набор мер по выработке управляющих воздействий, которые способны корректировать текущие показатели и обеспечить прирост полезной мощности в соответствии с концепцией устойчивого развития.

Библиографический список

1.Бартини Р.О., Кузнецов П.Г. О множественности геометрий и множественности физик // Проблемы и особенности современной научной методологии. Уральский научный центр АН СССР. Свердловск, 1979.

2.Кузнецов П. Г. Необратимость исторического процесса природы и общества в трудах В. И. Вернадского и в современной науке // Бюллетень комиссии по разработке научного наследия академика В. И. Вернадского. № 1. Л.: Наука, 1987. С. 37-49.

3.Лавлинская О.Ю. Анализ принципов управления инновационными проектами с по-

21

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В СТРОИТЕЛЬНЫХ, СОЦИАЛЬНЫХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

зиций теории устойчивого развития сложных	дарственного университета. Серия: Системный
систем/ Лавлинская О.Ю., Десятирикова Е.Н,	анализ и информационные технологии. 2012.
Рудакова М.Н // Вестник Воронежского госу-	№ 2. С. 106-110.

УДК 539.374

Воронежский государственный технический университет	Voronezh State Technical University
Канд. техн. наук, доцент А.П. Бырдин, тел.: 7(473)-254-54-75	Ph. D., as. prof. A.P. Byrdin, Ph.: 7(473)-254-54-75
Канд. техн. наук, доцент А.А. Сидоренко, E-mail:	Ph. D., as. prof. A.A. Sidorenko, E-mail: sidorenko6302@mail.ru
sidorenko6302@mail.ru	Ph. D., as. prof. O.A. Sokolova, Ph.: 7(473)-252-74-80
Канд. техн. наук, доцент О.А. Соколова, тел.: 7(473)-252-74-80	A.A. Sysoeva, E-mail:nvsh@yandex.ru
А.А. Сысоева, E-mail: nvsh@yandex.ru	Russia, Voronezh,
Россия, г.Воронеж
А.П. Бырдин, А.А. Сидоренко,	О.А. Соколова, А.А. Сысоева

ДЕФОРМАЦИИ В ПЛОСКОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ МАТЕРИАЛОВ С ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ РЕОЛОГИЕЙ

Аннотация: Предлагается метод вычисления деформаций в плоской задаче теории упругости для нелинейного вязкоупругого материала

Ключевые слова: плоская задача, нелинейная реология, вязкоупругий материал

A.P. Byrdin, A.A. Sidorenko, O.A. Sokolova, A.A. Sysoeva

TH DEFORMATIONS IN PLANE PROBLEM FOR THE MATERIAL

WITH FUNCTIONAL EQUATION STATE

Abstract: Method of calculation the deformation in the plane problem for the non-linear viscoelastic material is proposed

Keywords: plane problem, non-linear rheology, viscoelastic material

Важной 5 проблемой

механики

поли-

В настоящей

работе рассматривается

мерных материалов и композитов, получен-

плоская задача теории упругости для мате-

ных на их основе, является разработка мате-

риалов с физическим уравнением, содержа-

щим не коммутирующие интегральные опе-

матических моделей и методов разрешения

раторы. Имея в виду использование функций

уравнений, вытекающих из этих моделей. В

напряжения для решения уравнений равно-

случае

линейно-наследственного поведения

весия, физические уравнения будем записы-

таких материалов при нагружении решения

вать в виде

( ) . В случае плоской де-

классических задач теории упругости можно

формации операторное обобщение уравне-

получить на основе принципа Вольтерра [1].

ний Гука для изотропной среды имеет вид

При наличии существенного отклонения по-

ˆ

1 2

ведения

материалов

от линейного

возни-

1

L

2M 0

ˆ

кают трудности, связанные с необходимо-

2

0

1

,

(1)

L

2M

, 2M 12

стью

обращения

рядов

полилинейных

0

ˆ

E

2

функционалов. Для одноосного нагружения

3 L

нелинейно - наследственных материалов в

где i (x, y)

(i 1,2)

и

12 (x, y) нор-

работе [2] приведены результаты такой зада-

мальные

и

касательные

напряжения

чи. Для задач большей размерности решения

i (x, y)

(i 1,2),

12 (x, y)

соответствую-

систем

нелинейных

функциональных урав-

нений, связывающих напряжения и дефор-

щие

деформации,

ˆ

L L0 ,

M GM 0

мации, используются различные приближен-

не коммутирующие интегральные операто-

ные методы.

ры, входящие в матричный функционал от-

клика,

и G упругие постоянные Ляме,

©

Бырдин А.П., Сидоренко А.А., Соколова О.А.,

E

единичный оператор.

ˆ

Сысоева А.А., 2019

22

ВЫПУСК № 3-4 (17-18), 2019

ISSN 2618-7167

При решении матричного уравнения в

(1) следует учитывать, что операторы ˆ ˆ

L , M

являются некоммутативной алгебры. Произведение этих операторов нужно понимать следующим образом

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ	(2) ˆ(1)	(2)
M L L M M	L ,	(2)

где индекс указывает порядок их действия на функции[3]. Решение матричного уравнения

в (1) получим с помощью обратной матрицы

						M
		ˆ		ˆ			ˆ	ˆ
ˆ	1		0		0	ˆ
ˆ	1	ˆ		ˆ		ˆ			,	(3)
A			1		2		3		,	(3)
			1		2		3
		ˆ		ˆ		ˆ
			2	1			3

где введены обозначения

1

ˆ

ˆ 1

ˆ

ˆ ˆ

ˆ

M

ˆ

E

M

L M

,

0

2

, 1

4

,

3

2

.

(4)

Решение матричного уравнения (1), ис-

когда

ˆ

является линейным,

ˆ

нели-

пользуя (3),

запишем для случая линейных

M

а L

нейным интегральным оператором.

не коммутирующих операторов

ˆ

и

ˆ

L

M .

Для

обработки

экспериментальных

Выполнив

простейшие

преобразова-

данных при нагружении полимерных мате-

ния, получим

риалов в теории наследственной упругости

1

ˆ

1

2

ˆ

1

2

используются

интегральные

операторы

1

M

,

Вольтерра с разностными ядрами [1],

уста-

2

(5)

навливающими связь между напряжениями и

1

деформациями. Пусть операторы в выраже-

ˆ

1

2

ˆ 1

1

2

M

.

ниях (1) имеют вид

2

Решение в виде (5)

рассматриваемого

t

ˆ

(6)

матричного уравнения справедливо и тогда,

Mu(t) G M 0 (t )u( )d ,

0

t

3

ˆ

L0

0

Lu(t)

(t )u( )d a3

L3 ( 1, 2 , 3 ) u(t k )d k ,

0

k 1

где

M0 (t) (t) k0m0 (t),

L0 (t) (t) k1l0 (t),

3

L3 (t1, t2 , t3 ) (tn ) k3l3 (t1, t2 , t3 ),

a30

1,

n 1

(t) дельта - функция,

m0 (t), l0 (t), l3 (t1, t2,t3 )

заданные функции (экспоненты, функции Работнова или Ржаницына [1]), k0 , k1, k3

постоянные. Отметим, что если оператор ˆ

M

также является полилинейным, то решение

(5) можно использовать в качестве первого приближения.

Для построения обратного оператора к

оператору	ˆ ˆ	в общем случае можно
	M L

использовать полученное в работе [2] рекуррентное соотношение, связывающее ядра интегралов этого оператора с ядрами обратного

кнему оператора.

Вцелях получения замкнутого выражения для ядер обратного оператора рассмотрим модельный случай

23

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В СТРОИТЕЛЬНЫХ, СОЦИАЛЬНЫХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

	3			v(t)
M 0 (t) L0 (t),	L3 (t1,t2 ,t3 ) L0 (tn ). (7)	ˆ	ˆ	v(t)
		ˆ	ˆ
		(L0	a3L3 )u(t)	G	,	(8)
	n 1			G
	n 1

	В этом случае рассматриваемый оператор	решение которого разыскиваем в виде ряда
		полилинейных операторов
	принимает вид

		ˆ	ˆ	ˆ	ˆ
		M L ( G)(L0			a3L3 ) ,
где	ˆ	и	ˆ	первый и второй (с ядром
где	L0	и	L3	первый и второй (с ядром
вида	(7))		интегральные операторы в			ˆ	,
вида	(7))		интегральные операторы в			L	,

a0 a3 3 .

G

Для построения ядер обратного оператора рассмотрим нелинейное интегральное уравнение

			v(t)
ˆ			v(t)
u(t) K 2n 1v0	(t),	v0 (t)		,	(9)
u(t) K 2n 1v0	(t),	v0 (t)	G	,	(9)
n 0			G
n 0

где индекс в операторном члене указывает кратность интегралов, а ядра подлежат определению. Используя метод, развитый в [2], выражения для ядер интегральных операторов в (9) можно получить в виде

				2n 1		a3		n	n 1
ˆ		n		(t1) (t1		a3			C3n 1
K2n 1	(t1,...,t2n 1) ( 1)		n K1		tk ),	n 3				,
K2n 1	(t1,...,t2n 1) ( 1)		n K1		tk ),	n 3	2		2n 1	,
				k 2			2		2n 1
				k 2

где Cnk биномиальные коэффициенты,

0	1.
	Таким образом решение уравнения (8)
имеет вид
		t
u(t)		( 1)n n K1( )v02n 1(t )d . (10)
	n 0	0

Полная система уравнений, определяющая рассматриваемую задачу, помимо физических уравнений включает два уравнения равновесия, связывающих напряжения1, 2, 3 , граничные условия для напряже-

ний на контуре, а также соотношение совместности деформаций [4].

Однородные уравнения равновесия удовлетворяются, если напряжения выражены через функцию Эри

1

2Ф

,

2

2Ф

,

2Ф

.

(11)

y 2

x2

x y

При

получении

приближенного

уравнения

для функции напряжений используем уравнения равновесия и линеаризованное уравнение совместности деформации, выраженное через напряжения посредством (1).

Принятое в (7) условие позволяет исключить операторные члены и получить для функции Эри стандартное бигармоническое уравнение. Его решение можно записать в виде полинома P(x, y) , коэффициенты ко-

торого определяются с помощью граничных условий для напряжений и соотношений

(11).

Учитывая соотношения (7), (10), (11) можно представить решение поставленной задачи в виде

1,2 (x, y) 12

( 1)n n n 0

	F (t)


	2( G)
	2( G)

2 P0 (x, y)2n 1 F (t)

4

2 P0 (x, y)		2 P0	(x, y)		,
	2			2	,	(12)
y	2	x		2
y		x

t		ном, коэффициенты которого найдены из
где F (t) K1 ( )d , 2	дифференци-	граничных условий.
0		Отметим, что (12) дает приближенное

альный оператор Лапласа, P0	(x, y) поли-	решение задачи, поскольку проводилась ли-
альный оператор Лапласа, P0	(x, y) поли-	неаризация соотношения совместности де-
		неаризация соотношения совместности де-
		формаций. Если не проводить линеариза-

24

Материал: Математические методы системного анализа и управления информационно-вычислительными, управляющими и сетевыми системами. Проскурин Д.К., Сысоев Д.В

Смотрите также: