Материал: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ НЕФТЕГАЗОВОЙ ОТРАСЛИ

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

h

Рисунок 2.1 - Трубопровод с произвольным расположением в пространстве

по длине трубопровода либо изменяться по любой пространственной кривой. Введение в рассмотрение (помимо зенитного) и азимутального угла

может быть вызвано необходимостью учета Кориолисова ускорения в движущейся жидкости.

Запишем для рассматриваемого процесса следующее функциональное уравнение:

F' (d, l, γ, t, ρ, η, τ0, V, P1, P2,) = 0. (2.38)

В этом уравнении штрих при символе функциональной зависимости означает то, что вид ее, возможно, еще не окончательный, и ее предстоит уточнить. Это обычно бывает связано, с одной стороны, со стремлением сократить число параметров, а с другой – с тем, что не все параметры сразу же удается выбрать удачно ввиду малоизученности или сложности рассматриваемого процесса.

Уточнение может быть произведено постановкой предварительных, так называемых отсеивающих, экспериментов, но чаще – путем тщательного анализа сути и содержания принятых в рассмотрение параметров. В последнем случае обычно пользуются так называемым методом последовательного развертывания и детализации параметров. Этот метод заключается в том, что некоторые сложные параметры, зависящие, в свою очередь, от других параметров (если таковые имеются), записываются в виде функций других, более простых параметров и вводятся в исходное уравнение (2.38). После этого исходное уравнение обычно становится переопределенным в том смысле, что некоторые параметры встречаются более одного раза. Далее повторяющиеся параметры исключаются, так что каждый параметр учитывается лишь один раз.

46

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Необходимость в детализации параметров обычно бывает связана с тем, что составляющие сложного параметра различным образом влияют на исследуемый процесс, или же тогда, когда вновь вводимые параметры бывают в каких – то отношениях удобнее первоначально принятых, например, при измерениях или расчетах.

Покажем это на рассматриваемом примере.

Для задач из области гидравлики сокращение числа параметров обычно достигается заменой давлений P1 и Р2 их разностью, т.е. перепадом давления P = P1 – P2. Однако это возможно не всегда. Замена давлений Р1 и Р2 на их

разность означает исключение из рассмотрения давления Р2 и, стало быть,

уменьшение давления в гидравлической системе на эту величину. Это допустимо лишь в том случае, если нас интересует только гидродинамика процесса между сечениями 1 и 2, а величина абсолютного давления никакой роли не играет. Между тем она может интересовать нас, например, с точки зрения прочности трубопровода. Но если же по условию задачи это возможно, то дальнейшее сокращение числа параметров может быть достигнуто заменой

параметров, как нетрудно заметить, сокращается сразу на две единицы.

В общем случае давление в начале трубопровода, т.е. суммарное давление, можно записать так:

геометрических высот расположения сечений 2 и 1;Ргд – потери давления на участке трубопровода между сечениями 1 и 2.

Представим (1.39) в видеР Р1 Р2 Ргст Ргд

и поделим обе части этого уравнения на l. Тогда получим

трубопровода, а к разности геометрических высот расположения его концевых участков, что называется гидравлическим уклоном.

Так как разность геометрических высот сечений 2 и 1 в рассматриваемой задаче равна (-h) (сечение 2 расположено ниже сечения 1), то

Ргст g h , и (2.40) принимает вид

47

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

можно заменить на 2 параметра: g и Pгд / l в окончательном уравнении, если

Наибольшее давление в системе Р1 здесь обусловлено только разностью высот

расположения сечений 2 и 1 и потерями давления на участке трубопровода между ними;

3)сечение 2 не является концевым, и давление в нем не равно нулю, т.е.

4)Р2 Р2 0 , причем Р2 может представлять собой как сумму

распределенных по длине потерь давления на участке любой протяженности за сечением 2, так и сосредоточенный перепад давления сразу же за сечением 2, или же то и другое одновременно.

Пусть абсолютное значение давления Р1 представляет для нас интерес, что соответствует более общему случаю. Тогда функциональное уравнение окончательно запишется в виде

В (2.44) 10 параметров связаны одним уравнением связи и должны дать 7 критериев подобия, форма записи которых будет зависеть от выбора основных единиц. Теоретически число таких возможностей равно числу сочетаний из 7 элементов по 3, т.е. С73 35 . Но в действительности их будет меньше, ибо легко

заметить, что некоторые тройки параметров взаимозависимы, например d, t, g; d, g, V и др. Поэтому N < 35. Из них один безразмерный параметр γ при любом выборе основных единиц сразу же дает критерий подобия.

48

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Выберем в качестве основных единиц d, ρ, V (в (2.44) они выделены дугообразной черточкой наверху) и запишем функциональное уравнение в критериальной форме:

где индексы при Р и Р в целях простоты опущены. Обозначим:

Здесь и далее критерии подобия снабжены штрихами в связи с тем, что такая форма записи, возможно, не окончательная, и они нуждаются в другой, более привычной форме записи.

называется критерием гомохронности, или критерием Струхаля.

находящий очень широкое применение при гидродинамических расчетах критерий Рейнольдса.

критерий, часто называемый критерием Сен-Венана–Ильюшина, который в

49

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

где отношения одноименных параметров обозначены теми же буквами с

подобия, представляет собой индикатор подобия. Он имеет следующее определение:

Комплексы и симплексы, составленные из масштабов подобия и совпадающие по форме алгебраической записи с критериями подобия, называются индикаторами подобия.

Индикаторы подобия для остальных критериев подобия будут следующие:

От индикаторов подобия легко перейти к системе уравнений, составленных из масштабов подобия:

50

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts