Материал: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ НЕФТЕГАЗОВОЙ ОТРАСЛИ

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

t

V

 

d

 

 

 

 

c

 

c

 

 

 

 

 

c

 

 

 

Vc dc c c

 

 

 

d

 

V

 

 

 

c

 

0c

 

 

 

 

 

 

c c

(2.50)

 

 

gc dc

 

Vc2

 

 

P

V

2

 

 

 

c

 

 

 

 

c

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

Pc dc c lс Vc

 

 

 

 

 

Положим выбран масштаб подобия dc = λ. Тогда

 

t

V

 

 

 

 

 

 

c

 

c

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

c

 

 

 

c

 

 

 

c

 

 

0c

 

V

c

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

(2.51)

 

 

gc

 

 

Vc2

 

 

 

P

V

2

 

 

c

 

 

 

 

c

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

Pc c lс Vc

 

Из последнего уравнения системы следует, что при наличии геометрического подобия линейные (диаметральные и осевые) размеры моделируются в одном и том же масштабе. Поэтому lc = dc = , и пятое

уравнение в (2.51) переходит в следующее: Pc c Vc2 . Из четвертого уравнения системы имеем

Vc

 

 

gc .

 

 

 

(2.52)

 

 

 

 

 

Подставив его в первое уравнение, получим масштаб времени

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tc

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

gc

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставив (2.52)

во второе уравнение, будем иметь

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

(2.53)

 

c

 

 

 

 

gc .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из третьего уравнения с учетом (2.52) получим

0с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

gc

.

(2.54)

 

с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И, наконец, из (2.53) и (2.54) получаем

 

 

 

 

 

 

 

с

 

3 gc c и

(2.55)

0c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

gc c .

(2.56)

51

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Таким образом, масштабы по структурной вязкости и пластической прочности структуры вязко - пластичной жидкости сложным образом зависят от принятого масштаба геометрического подобия и гравитационной постоянной.

При изменении плотности жидкости, как отмечалось выше, изменяется и ее вязкость, изменяется также и динамическое напряжение сдвига, и совсем непросто приготовить модельную жидкость. Поэтому желательно было бы

иметь дело с одной и той же жидкостью, при которой

с с 0с 1. Но

тогда из (1.55) получим gc

1

, а из (2.56)

gc

1

 

,

т.е. придем к явному

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

противоречию. Более того, в земных условиях применительно к данной задаче невозможно выбрать масштаб gс, отличный от единицы. Поэтому эта задача

будет

 

иметь

единственное решение:

gc 1, при

этом

с

3 c и

 

 

 

 

0c

 

c , что может быть достигнуто лишь путем тщательного подбора

соотношения

 

и 0 при данной

плотности жидкости

, на

которую

никаких ограничений не накладывается.

 

 

 

 

 

В зависимости от плотности жидкости давление и перепад давления

будут моделироваться в одном и том же масштабе

Рс с и

Рс с .

Отсюда хорошо видно, что обеспечение подобия характеристик жидкостей вообще и вязко – пластичных жидкостей в особенности встречает серьезные трудности. Аналогичные трудности возникают при решении многих других задач механики и в других областях знаний.

Приведем наиболее часто встречающиеся критерии подобия.

Для вязко – пластичных жидкостей нередко вместо критериев Re и Sen пользуются обобщенным критерием Рейнольдса Re* или критерием Хедстрема Не, определяемыми в виде комбинаций критериев Re и Sen:

Re*

 

Re

 

 

V d

 

;

(2.57)

 

 

1

 

 

 

 

0 d

 

1

 

Sen

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

6 V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Не Re Sen

 

d

2

0

.

 

 

(2.58)

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При решении задач в различных

областях науки и техники широкое

применение находит также ряд критериев, имеющих специальные названия по имени ученых, впервые их предложивших. Вот некоторые из них.

1 Критерий Архимеда

Ar

d 3

т в

g

.

(2.59)

 

2

 

 

 

 

 

 

 

52

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

2

Критерий Ньютона

Ne

 

 

 

Fc

.

 

(2.60)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V 2 d 2

 

3

Критерий Ньютона

Ne

 

 

F t 2

.

 

 

 

(2.61)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m l

 

 

 

4

Критерий Ньютона

Ne

 

 

M вр

.

 

 

 

(1.62)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J 2

 

 

 

5

Критерий Коши

Сa

 

 

V

 

 

.

 

 

 

 

 

(2.63)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

Критерий Прандтля

Pr

.

 

 

(2.64)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

Критерий Фурье

Fo t .

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.65)

 

 

 

 

 

l 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

Критерий Пекле

Pe

V l

.

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.66)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

Критерий Нуссельта

Nu

l .

 

 

(2.67)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10 Критерий Вебера We

 

V 2 d

 

.

 

(2.68)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь т в - плотность частиц, взвешенных в жидкости;

 

 

Fc - сила сопротивления движению тела на поверхности жидкости;

 

m – масса тела;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mвр - вращающий момент, M L 2 T 2 ;

 

 

 

J – массовый момент инерции вращающегося тела, M L 2 ;

 

- относительная деформация тела в пределах упругости;

 

E - модуль Юнга, M L 1 T 2 ;

 

 

 

- коэффициент кинематической вязкости жидкости,

L 2 T 1 ;

 

- коэффициент температуропроводности, L 2

T 1 ;

 

 

- коэффициент теплоотдачи, M T 3 1 ;

 

 

 

- коэффициент теплопроводности, L M T 3

1 ;

 

- коэффициент поверхностного натяжения, M T 2 .

Критерии подобия во многих случаях представляют собой отношение двух сил различной природы. Так, критерий Рейнольдса есть

53

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

 

 

 

Re =

 

силы инерции

V 2 d 2

 

 

V d

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

силы вязкости

Vd

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Критерий Сен-Венана-Ильюшина

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

силы пластической прочности структуры

 

 

0

d 2

 

0

d

 

 

 

Sen

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

силы вязкости

 

 

 

 

 

 

V d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

силы инерции

 

2 V 2 d

2

 

 

V 2

 

Критерий Фруда

 

 

Fr =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g d 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

силы тяжести

 

 

 

 

 

 

 

 

gr

 

Критерий Эйлера

 

Eu =

силы давления

 

 

 

Pd 2

 

 

P

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

силы инерции

 

 

ld V 2

 

V 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Что касается критерия Струхаля Sh, то он представляет собой

отношение: Sh

локальные силы

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

конвективные силы

Критерии Фурье, Пекле, Нуссельта и Прандтля широко применяются при теплотехнических и термодинамических исследованиях и расчетах.

Можно получение критерии подобия с помощью применениям системы относительных единиц. Идея этого способа заключается в том, чтобы для каждого изучаемого явления построить свою систему измерений, например, при изучении движения тел время отсчитывать не в секундах, а в долях от характерного времени.

При изучении колебаний можно ввести, например, вместо реального

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

времени

 

 

 

t

величину

F / m , записав уравнение движения в

безразмерном виде:

 

 

 

 

 

d 2 x

 

 

k dx

 

C x

sin ,

(2.69)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d 2

mF d

 

F

 

 

 

 

где положено m / F .

Уравнение (2.69) получено из (2.9) делением всех его членов на F. Возможность применения системы относительных единиц для получения

критериев подобия вытекает из утверждения, которое является следствием основных теорем подобия: если параметры, характеризующие одно явление Р1, выражены в долях от некоторых определенным образом выбранных базисных величин Р1б, а для второго явления сходственные параметры Р2 выражены в долях от базисных Р2б величин, выбранных таким же образом, то при равенстве относительных значений сходственных параметров Р* = Р1/Р1б = =Р2/ Р2б первое и второе явления могут быть подобны.

Выражение могут быть подобны означает следующее: равенство всех параметров, выраженных в относительных единицах, еще недостаточно для того, чтобы имелось подобие явлений. Поэтому можно считать критериями подобия выраженные в относительных единицах параметры лишь условно,

54

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

учитывая при этом, что для подобия явлений необходимо соблюдение дополнительных условий, накладываемых на выбор базисных величин второго процесса. Они следующие:

1)если в принятой системе единиц имеется k основных единиц, то нельзя выбирать независимо более k базисных величин;

2)если в явлении участвуют более k взаимосвязанных величин, то не всякие k базисных величин могут быть выбраны независимо. Признаком независимости величин является неравенство нулю определителя, составленного из показателей размерностей этих величин;

3)если определитель k–го порядка равен нулю, то количество независимых базисных величин должно быть меньше k, что также устанавливается с помощью определителя (k – 1) порядка.

Последовательность определения условных критериев подобия, представленных в относительных единицах, имеет следующий вид:

1)выбор k независимых базисных величин, соответствующих принятой системе измерения;

2)проверка правильности выбора базисных величин путем выявления числа независимых между собой параметров и выбора одной из возможных комбинаций;

3)определение m - k зависимых базисных величин исследуемого

процесса;

4)запись всех m параметров исследуемого процесса в относительных единицах.

Число критериев подобия, полученных данным способом, равно числу безразмерных параметров m - k.

Приведем некоторые формальные методы получения критериев подобия

иуравнений процессов. Поскольку критерии подобия (кроме геометрических, кинематических и некоторых других) представляют собой отношение двух сил, то их можно легко получить, составляя такие отношения.

Запишем, последовательно развертывая, выражения для сил:

1) инерции при поступательном движении:

Fинерц m a l 3 tl2 l 2 V 2 d 2V 2 ;

2)вязкости: Fвя зк V l V d ;

3)пластической прочности структуры жидкости: Fпл = 0 d 2 ;

4) тяжести: Fт яж m g l3 g d 3 g ;

4) инерции при криволинейном (вращательном) движении:

F цб

m 2 r r 3

V 2

r V 2 r 2 ;

 

инерц

 

r 2

 

 

 

 

5) давления: Fдавл P d 2 .

Составим теперь отношения некоторых сил:

55

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

Источник: https://studfile.net/preview/16405273/

Смотрите также:

1 ТА области ГРУДИ
Алкилирование фенола тримерами пропилена (производительность 125000 т. в год алкил фенола)
Биотехнология в агрономии
Відповіді до заліку. Економічна теорія. Туризм
Глоссарий по педагогике
Документ
Земельний кадастр
Конечный вариант
Лабораторная работа 3
Лесные пожары