Материал: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ НЕФТЕГАЗОВОЙ ОТРАСЛИ

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Стенка задается размерами отдельных слоев и теплофизическими характеристиками материалов, т. е. объемными теплоемкостями ( c c , где с — удельная теплопроводность тела; — объемный вес тела), и коэффициентами теплопроводности (рис. 2.15 ).

Рис. 2.15

Дано определенное начальное распределение температуры и произвольно выбранные воздействия температур наружных сред II тепловых потоков па поверхности стенки. Вначале составляется расчетная схема. Разбивают стенку на конечное число слоев. При этом допускается, что теплоемкость для каждого слоя сосредото чена в середине его и ограждается термическими сопротивлениями, равными половине толщины слоя.

Таким образом, расчетная схема представляет собой цепочку теплоемкостей с, разделенных между собой термическими сопротивлениями rn,n 1 .

Теплоемкости крайних слоев отделены от наружной среды дополнительным термическим сопротивлением теплоотдачи с поверхности. Процесс теплообмена элементарных слоев между собой и окружающей средой определяется следующей системой уравнений:

осуществляется следующим образом. Составляется цепь из сосудов с определенными сечениями n , соединенными между собой через

гидравлическое сопротивление n,n 1 (рис. 2.16).

Число сосудов равно числу элементарных слоев. Крайние сосуды соединены с подвижными сосудами В1 и В2. Изменение уровней воды в сосудах будет определяться следующей системой уравнений:

111

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

qn 1,n qn,n 1 n n hn

где q — расход жидкости; — коэффициент гидравлических сопротивлений; h — уровень жидкости в сосуде; h — разница уровней жидкости в сосудах.

Рис. 2.16.

Расход жидкости q пропорционален разности уровней в сосудах h (аналог закона теплопроводности), а приращение содержания воды в сосуде

температуры в центре элементарных слоев, а изменение уровней в подвижных сосудах происходит так же, как изменение температуры окружающих сред. Тогда уровень в сосудах будет изменяться аналогично изменению температуры в элементарных слоях. Если n и n численно не

равны cn и rn , а лишь пропорциональны им, то тепловой процесс также будет

воспроизводиться на модели, по только в другом масштабе времени. Наличие такой возможности создает большие удобства, так как можно значительно ускорить воспроизведение медленных и замедлить воспроизведение быстро протекающих процессов теплообмена. В этом случае перейти от гидравлической модели к исследуемому процессу можно посредством выбора соответствующих масштабных соотношений.

Если все величины, входящие в уравнения (2.154) — (2.157), выразить в безразмерных величинах, то система (2.154) и (2.155) будет подобна системе (2.156) и (2.157), так как будут равны их безразмерные множители. Отсюда получим основное выражение для масштабных соотношений.

Получаем следующие критериальные соотношения:

112

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Таким образом, когда гидравлическая цепь составлена в соответствии с теплофизическими характеристиками отдельных слоев, выбирают

физических величин; индекс отвечает гидравлической модели, индекс — исследуемому тепловому процессу.

Пример. Допустим, что дана задача со следующими условиями. Толщина стенки 2R = 1 м, коэффициент теплопроводности бетона = 1,667, удельная теплоемкость бетона с = 0,2, объемный вес = 200. Начальное распределение

Для этого перейдем к составлению гидравлической модели. Ввиду симметричности температурного поля рассмотрим только половину его. Разобьем участок стенки, подлежащей исследованию ( R = 0,5 м), на 10 равных по толщине слоев (n = 10). Вычислим теплоемкость одного такого слоя

цепочки, тождественной по начертанию цепочке, замещающей температурное поле, на рис.2.18. Крайнее сосредоточенное термическое сопротивление в два раза меньше остальных. На схеме гидравлической цепочки показаны (внизу)

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Для масштабных соотношений принимаем следующее соответствие 20 см напора 20° С; 0,3 мин/см2 гидравлического сопротивления 0,03 ч°С/ ккал термического сопротивления слоя; 2 см2 площади сосуда 20 ккал/°С теплоемкости слоя.

Рис. 2.17. Рис. 2.18.

Вычислим масштаб времени T r0c0 0, 03* 20 1

TГ 0 0 0, 3* 2

Так как требуется установить распределение температур в стенке через 10 и 20 ч от начала теплового процесса, то первая остановка прибора должна

рис. 2.19

быть через 10 ч, а вторая через 20 ч от начала теплового процесса. Следовательно, первая остановка прибора должна быть через 10 мин, а вторая

— через 20 мин после пуска. Для задания на приборе начального состояния

0,125; 0,475 м (рис. 2.19). Полученные величины будут заданы как начальные напоры в сосудах гидравлической модели. Граничное условие на поверхности стенки t = 0° С будет воспроизведено на приборе подключением с левой стороны

114

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

цепочки сосуда с постоянным уровнем воды в нем, соответствующем 0° С. На правом крае цепочку следует отключить в соответствии с условием симметрии

t 0 (т. е. поток тепла во время теплового процесса равен нулю).

x

На рис. 2.19 приведена кривая начального распределения температур и кривые, рассчитанные на приборе распределений температур через 10, 20 и 40 ч от начала процесса. Следует отметить, что отклонения нигде не превосходят 1,5 мм, т. е. 0,15° С. На гидроинтеграторе можно решать одно-, двух- и трехмерные задачи.

Для решения одномерных задач соединяют сосуды в цепочки. При решении двухмерных задач требуется соединить цепочки из сосудов между собой посредством сопротивления в соответствии с принятой разбивкой исследуемого температурного поля на блоки. возможно также и решение трехмерных задач, но так как при этом такое число сосудов равно 100, то схема разбивки поля на отдельное блоки должна быть заранее продумана.

В приведенных выше примерах аналогии для ясности были рассмотрены простые явления. Однако этот метод применим и для исследования отдельных сложных явлений, встречающихся в различных областях техники.

Ниже представлена таблица наиболее часто встречающихся аналогий между механическими и электрическими системами.

115

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts