Материал: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ НЕФТЕГАЗОВОЙ ОТРАСЛИ

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

сложные исследования по фильтрации. Теоретическое исследование этих вопросов очень сложно, а иногда и неразрешимо. Эти сложные вопросы очень легко разрешаются с помощью метода ЭГДА (электрогидродинамическая аналогия), в том числе разрешаются многие задачи, относящиеся к фильтрации нефти, газа и газированных жидкостей.

Применение метода ЭГДА при исследовании фильтрации почвенных вод под гидротехнические сооружения впервые в 1918 г. было предложено и теоретически обосновано академиком Н. Н. Павловским. Метод ЭГДА также широко используется в различных областях научных исследований.

Применение центробежного моделирования дает хорошие результаты при решении следующих задач, относящихся к статике и динамике пород: определение прочности земляных строительных откосов; определение прочности валов и других строительных фундаментов; распределение напряжений в породах и на контакте строительных поверхностей с породой; оседание зданий; фильтрация воды в породе и влияние фильтрации па породы; определение в связанных породах сил трения и сцепления и т. д. Ниже покажем два простых примера, относящихся к аналогии.

Наиболее часто применяются аналогии между электрическими и механическими явлениями.В замкнутую цепь (рис.2.13) включены конденсатор с емкостью С, омическое сопротивление R, катушка самоиндукции L и ключ К.

Через цепь проходит электрический ток I. Для последовательной цепи, как известно из закона Кирхгофа, разность потенциалов будет состоять из суммы разности напряжений на

Рис.2.13

омическом сопротивлении, конденсаторе и катушке. Эти три составляющие рассчитываются следующим образом:

а) в результате самоиндукции разность напряжений равняется произведению коэффициента самоиндукции L на скорость изменения тока, т.

е. L dIdt ;

б) разность напряжений, связанных с омическим сопротивлением, равна произведению RI (закон Ома);

106

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

о

Таким образом, дифференциальное уравнение, описывающее явление, запишем в виде

При решении этого дифференциального уравнения второго порядка для нахождения двух постоянных должны быть заданы два условия. Например, в начальный момент времени t = t0 задаются

утопия I I0 и dIdt I0 .

Выделим условия, необходимые для решения уравнений. Если явление описывается обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка, т. е. в уравнении искомая функция зависит только от одного аргумента (п — самый высокий порядок производной, входящей в уравнение, — целое число, которое может равняться единице или более), то в результате его решения должно получиться п произвольных постоянных. Для нахождения их должны быть заданы п условий. Эти условия, зависящие от характера изучаемого явления, могут быть заданы различными способами.

1.При определенном значении аргумента задается функция и ее п - 1 производные. Например, если в заданном уравнении третьего порядка искомая функция зависит от времени, то для определенного

значения времени должны быть даны функции и ее первая и вторая производные.

Такая задача называется задачей с начальными условиями, или задачей Коши.

2.При определенных значениях аргументов задаются функции и их производные. Например, если иметь дифференциальное уравнение пятого порядка, то из двух значений аргументов при одном из них даются искомая функция и ее первая и вторая производные, а при другом значении — функция и ее третья производная. Здесь в зависимости от постановки задачи возможны также различные другие варианты.

Для приведенной электрической цепи граничные условия могут быть заданы так:

Рассмотрим механическую цепь, имеющую одну степень свободы.

107

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Напишем условие равновесия сил, действующих на пружину (рис. 2.14).

Рис. 2.14.

На пружину действуют активные силы тяжести и упругости и пассивная сила сопротивления.

Воспользовавшись принципом Д'Аламбера, условие равновесия запишем в виде

где т — масса; h — затухание колебания; к — коэффициент жесткости;

х— перемещение.

Вприводимом уравнении (А) первый член по абсолютному значению представляет силу инерции, второй — силу трения, а третий — силу упругости.

Уравнение механического колебания имеет тот же вид, что и уравнение, описывающее электрическое колебание. Следовательно, в указанных уравнениях аналогичными являются параметры: х — I,

Перейдем к безразмерным величинам следующим образом:

где t0 — начальное значение аргумента; х0 и I0 — начальные значения функции. Таким образом,

Если все члены уравнения разделить на C1 I0 , TO получим следующее

108

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

уравнение с безразмерными коэффициентами:

Аналогично уравнение механических колебаний можно записать в безразмерном виде

Напишем начальные условия для уравнения колебаний в электрической цепи в безразмерном виде:

Начальные условия для уравнения механического колебание будут:

Для равенства вторых начальных условий должно быть удовлетворено следующее условие:

Теперь, пользуясь аналогией уравнений механического и электрического колебаний, перейдем от одного уравнения к другому.

Предположим, что для механического контура т, к и h заданы. И электрическом контуре при известных L1, L , задавшись I0 , можно найти I1 .

для идентичности уравнений описывающих механические и электрические колебания, необходимо

Тогда будут равны друг другу I I t , x x t .

В уравнениях (2.150) и (2.151) для нахождения неизвестных R, С, L нужно задаться одним из них. Например, задавшись значением С, можно

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

электрического контура и начальных условий. Для этого I0 , I0 , L,C, R

должны выбираться так, чтобы равенства (2.151) — (2.153) были удовлетворены. Например, задавшись значениями С и I'0, из этих трех уравнений можно найти I0, L и R. Выбор этих параметров зависит от места и условий опыта.

После нахождения этих параметров для установления зависимости I=I(t) собирается соответствующая электрическая цепь.

Кроме перечисленных существуют другие виды аналогий. Например, аналитическое решение задач теплопередачи со сложными краевыми условиями и изменяющимися термическими коэффициентами (которые часто встречаются в практике) связано с большими трудностями. Применение же метода элементарных балансов связано с трудоемкими вычислительными операциями. В связи с этим созданы счетно-решающие приборы, основанные на аналогиях, облегчающих вычислительные операции. При использовании метода аналогии стремятся воспроизвести исследуемое данное явление на аналогичном явлении, которое описывается теми же математическими зависимостями, но более просто управляемом. При этом значительно облегчаются вычислительные работы.

Известны электрические модели нестационарных процессов теплопроводности (электроинтегратор Л. И. Гутенмахера); нашел применение и метод гидравлической аналогии, предложенный В. С. Лукьяновым.

Гидравлический интегратор В. С. Лукьянова основан на аналогии математических соотношений, описывающих распространение температуры в твердом теле и распределение напоров в воде, движущейся через гидравлические сопротивления при ламинарном режиме.

Основной принципиальной особенностью, определяющей устройство гидроинтегратора, является замена в гидравлическом поле равномерно распределенных параметров сосредоточенными, т. е. переход от поля к цепи с сосредоточенными параметрами. В связи с этим процесс воспроизведения непрерывного температурного поля с сосредоточенными параметрами представляет собой переход от решения дифференциальных уравнений к решению уравнения в конечных разностях.

Этот прибор состоит из основных элементов аналогии гидравлической цепи с сосредоточенными элементами сопротивлений и емкостей, а также специальных элементов, воспроизводящих выделение скрытой теплоты при изменении агрегатного состояния; устройства для задания граничных условий; приспособлений для измерения напора в узлах гидравлической цепи; устройства, обеспечивающего питание прибора водой.

Рассмотрим конкретный пример определения распределения температуры в многослойной стенке при одномерном тепловом потоке.

110

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts