Материал: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ НЕФТЕГАЗОВОЙ ОТРАСЛИ

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

нежели а, b или S. С точки зрения напряженного состояния или прочности конструкции, напротив, может иметь более важное значение S. Иногда бывает необходимо брать не только I, но и более сложный параметр EI – жесткость балки на изгиб. Какие параметры оставить, а от которых необходимо или желательно освободиться, зависит от характера конкретной задачи.

К сожалению, π – теорема не дает ответа на этот вопрос, оставляя поле деятельности для опыта и интуиции исследователя, а также для проб и ошибок.

2. В качестве основных следует выбирать параметры, размерности которых совпадают с размерностями первичных единиц измерения, т.е. имеющие символы [М], [L] и [Т]. Таковыми могут быть масса объекта m, его линейные d, поверхностные S или пространственные V размеры (где d - диаметр, S - площадь, V- объем), а также временная характеристика (например, угловая скорость, частота или период колебаний). Далее идут производные параметры с размерностями в виде комбинаций двух первичных размерностей. Ими могут быть скорость, ускорение, плотность и т.д. Наиболее сложную размерность будут иметь производные параметры, размерности которых представляют собой комбинации всех трех первичных размерностей. Среди них часто встречаются такие параметры, как сила, момент силы, давление, напряжение, вязкость и т.д.

Наиболее легко и просто освободиться от размерностей, когда в качестве основных удается выбрать параметры с самыми простыми размерностями, совпадающими с размерностями первичных величин. Если этого делать не удается, то приходится выбирать параметры с более сложными размерностями. Непременным условием при этом является то, чтобы, во-первых, они в совокупности содержали размерности всех трех первичных величин и, вовторых чтобы они были независимы между собой.

Если в качестве основных выбраны параметры с самыми простыми размерностями ([М], [L] и [Т]), то для получения критериев подобия в числитель дроби последовательно записываются все n – r параметры, а в знаменатель – основные параметры с соответствующими показателями степеней.

В случае, если в качестве основных выбраны параметры с размерностями различной сложности (например, один – в виде одной размерности в какойлибо степени, другой – в виде комбинации двух размерностей, а третий – в виде комбинации всех трех размерностей), то в знаменатель дроби они подставляются в следующей последовательности :

1)если i – й параметр из n – r оставшихся имеет размерность лишь одной меры измерения, то в знаменатель дроби подставляется тот основной параметр, возведенный в соответствующую степень (целую или дробную), размерность которой совпадает с размерностью i - го параметра;

2)если i - й параметр из n – r параметров по размерности не совпадает c размерностью ни одной из основных единиц, то в знаменатель дроби на каждом этапе подставляют тот параметр, возведенный в

соответствующую степень, в размерности которого присутствует элемент

41

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

размерности i – гo параметра, а этот элемент в размерности других основных единиц отсутствует;

3) наиболее простой параметр следует использовать в последнюю очередь.

Следует отметить, что указанные правила, кажущиеся сложными в формулировках, на самом деле просты при их практическом использовании.

Однако при выборе основных параметров иногда приходится отказаться от некоторых из сформулированных выше правил. Чаще это бывает связано с характером решаемой задачи, стремлением получить уже хорошо известные критерии подобия и т.д.

Покажем вышеизложенное на конкретных примерах.

Задача 1. Колебания груза на пружине Получить критерии подобия на основе π – теоремы упрощенным

способом для колебания груза с массой m на пружине с жесткостью С в вязкой среде, сила сопротивления которой пропорциональна скорости V, если на груз действует возмущающая сила F0 sin ω t; t- время.

Пусть отклонение груза от состояния равновесия равно х. Запишем функциональную зависимость:

Памятуя, что выбор основных единиц – вопрос не принципиального характера, а диктуется в большей мере лишь соображением удобства, рассмотрим лишь некоторые из вариантов, придерживаясь в то же время сформулированных выше правил.

1-ый вариант. Вначале в качестве основных примем параметры m, x и t, т.е. параметры с самыми простыми размерностями, соответственно [М], [L] и [Т], символически совпадающими с первичными единицами измерения.

Ясно, что эти параметры взаимно независимы.

Размерности остальных величин следующие:

[ С ]= [ М ] [ Т ] - 2 ; ω = [ Т ] - 1 ; [ k ] = [ М ] [ Т ] - 1 ; [ F 0 ]= [ M ] [ L ] [ T ] - 2 .

Приводим все оставшиеся четыре параметра к безразмерному виду. Для этого первый из них записываем в числитель, указывая, справа от него его размерность: С => [М] [Т]-2.

Совершенно очевидно: чтобы привести к безразмерному виду, в знаменателе дроби нужно вначале записать параметр - основную единицу m в первой степени, а параметр t - в степени 2. В результате получим первый критерий подобия в виде

42

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

В полученных критериях первый индекс означает номер варианта. Сравнивая их с ранее полученными по классическому методу

критериями, легко установить, что:

Отсюда видим, что критерии подобия по этому способу получаются достаточно быстро.

2-ой вариант. Примем теперь в качестве основных единиц параметры х, k и F0, т.е. параметры не с самыми простыми размерностями, что противоречит правилу 2. Ясно, что этот вариант мы рассматриваем лишь с целью показать, какие трудности могут возникать, если не придерживаться правил.

Проверяем независимость выбранных основных единиц. Так как

то они независимы.

Остальные четыре параметра следующие: m, t, с и .

Записав в числитель дроби m и справа - его размерность [М], видим, что от этой размерности можно избавиться, записав в знаменатель дроби и k, и F0.

Теперь видно, что возникла трудность с освобождением от размерности [Т]. Если теперь записать в знаменатель параметр k в степени – 2, то получим

m 2 L 1 T 2 M 2 T 2 L 1 M 2 .

F0 k

Только теперь стало ясно, что этот путь не ведет к цели. Поэтому

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Для того, чтобы освободиться от Т, необходимо теперь в знаменатель записать F0 в степени минус 1/2 , т.е.

m F0 12 T M 12 L 12 T 1 M 12 L 12 .

k

Теперь задача усложняется тем, что надо освободиться от размерности [М] и [L], причем в степени ½. Если теперь записать в знаменатель дроби k 1/2, то от [М] освободимся, но опять появится [Т ] в степени 1/2.

В то же время решение есть. Необходимо записать так:

Отметим, что это не всегда бывает очевидно.

Аналогично можно получить и остальные критерии подобия. Опуская промежуточные рассуждения и выкладки, запишем их в окончательном виде:

В заключение отметим, что если выбранные в качестве основных единиц параметры независимы, то критерии подобия можно получить всегда. Дело лишь в том, что их получение значительно более трудоемко.

Рассмотрим ряд задач из области гидродинамики. Вначале рассмотрим самую простую задачу.

Пусть жидкость с плотностью ρ, вязкостью η движется равномерно со средней по сечению трубы скоростью V в горизонтально расположенной трубе с внутренним диаметром d.

Имеем

наиболее простую размерность имеет параметр d; размерности, включающие размерности двух первичных единиц измерения, параметры - и V, а наиболее сложную размерность в виде комбинации размерностей всех трех первичных единиц имеет единственный оставшийся параметр .

44

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

В соответствии с оговоренными выше правилами выбираем в качестве основных единиц параметры d, ρ и V и приводим (2.35) к критериальному виду. Записываем в числитель дроби параметр , указывая справа его размерность, а в знаменатель основные параметры подставляем в следующей

d в плюс первой степени, освобождаемся окончательно от всех размерностей. В результате получаем критерий подобия в форме

Это обратная величина критерия Рейнольдса, широко применяемого при решении задач гидродинамики. Поэтому приводим (2.36) к привычной форме записи

Преимущества критериального представления процесса трудно переоценить. Первое очевидное преимущество заключается в сокращении числа параметров. Так, в только что рассмотренном примере вместо четырех параметров с различными размерностями вводится в рассмотрение лишь один комплексный параметр – критерий подобия.

Второе преимущество заключается в том, что при проведении экспериментов легко добиться гидродинамического подобия процессов, изменяя лишь один параметр, например V, тогда как изменение или η связано с выбором другой жидкости, трудностями обеспечения подобия по ним , a изменение d означает выбор других труб.

Более сложным случаем является течение вязко-пластической жидкости. Задача 2. Течение вязко - пластичной жидкости в трубопроводе с произвольным расположением в пространстве (бурильной колонне)

Пусть вязко – пластичная жидкость с плотностью , вязкостью η и динамическим напряжением сдвига τ0 движется со скоростью V f t в трубопроводе с внутренним диаметром d, длиной l,произвольно расположенном пространстве, если в сечениях 1 и 2 давления равны соответственно Р1 и Р2 (рисунок 2.1). Сечения 1 и 2 могут представлять собой соответственно начало и конец трубопровода или любого произвольно выделенного участка.

Пространственное положение трубопровода может быть задано некоторым безразмерным параметром , например зенитным и азимутальным углами для любой глубины. Параметр может оставаться неизменным

45

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts