Материал: Механика деформируемого твердого тела
Второй
закон
термодинамики
Критерий
необратимости
содержится
во
втором
законе
термодинамики
,
который
постулирует
существование
двух
дополнительных
параметров
состояния
-
абсолютной
температуры
и
энтропии
.
Согласно
одной
из
формулировок
второго
закона
термодинамики
скорость
T
S
V
д
ф р у
р
р
р
д
р
изменения
со
временем
полной
энтропии
ДТТ
,
занимающего
объем
,
никогда
не
может
быть
меньше
,
чем
сумма
притока
энтропии
через
границу
объема
и
энтропии
,
производимой
внутри
объема
внешними
источниками
.
Полная
энтропия
определяется
по
формуле
,
где
удельная
энтропия
.
С
ф
V
∫
=
sdv
S
ρ
s
Согласно
формулировке
второго
закона
при
обратимых
процессах
,
при
необратимых
процессах
где
-
скорость
изменения
энтропии
,
вызванная
внутренними
изменениями
v
0
2
=
dt
ds
0
2
>
dt
ds
dt
ds
2
д
р
р
,
у р
При
обратимых
процессах
скорость
изменения
плотности
энтропии
связана
с
температурой
соотношением
Математически
закон
сохранения
энтропии
выражается
в
интегральной
форме
в
dt
dt
ds
T
dt
dq
=
а е а
ес
за о со ра е
э ро
ра ае с
е ра
о фор е
виде
неравенства
Клаузиуса
–
Дюгема
где
–
мощность локальных внешних источников энтропии
,
-
поток тепла через
i
c
ds
T
n
c
edv
sdv
dt
d
s
i
i
v
v
∫
−
∫
≥
∫
ρ
ρ
e
где
мощность
локальных
внешних
источников
энтропии
,
поток
тепла
через
единицу
площади
в
единицу
времени
.
Это
соотношение
постулирует
,
что
внутреняя
энтропия
в
объеме
не
убывает
.
i
e
Замкнутая
система
уравнений
Для
термомеханической
среды
,
где
механические
и
тепловые
явления
взаимосвязаны
,
основными
уравнениями
в
эйлеровых
,
ур
р
координатах
будут
следующие
:
-
Уравнение
неразрывности
:
0
v
d
k
∂
ρ
ρ
-
Три
уравнения
движения
:
0
x
dt
k
k
=
∂
+
ρ
ρ
∂
-
Уравнение энергии
:
i
j
ij
i
F
x
t
dt
dv
ρ
ρ
+
=
∂
∂
Уравнение
энергии
:
В
б
i
i
ij
ij
x
c
1
v
t
1
dt
du
∂
∂
−
=
ρ
ρ
В
дополнение
к
этому
должно
быть
выполнено
неравенство
Клаузиуса
–
Дюгема
:
i
2
i
i
i
x
T
T
c
x
c
T
1
e
dt
ds
∂
∂
∂
∂
−
≥
+
ρ
ρ
i
i
x
T
x
T
dt
∂
∂
Определяющие
уравнения
Назначение
этих
уравнений
состоит
в
том
,
чтобы
установить
математические
соотношения
между
параметрами
состояния
,
описывающими
поведение
материала
при
наличии
механических
и
термодинамических
воздействий
.
Определяющие уравнения вводят в рассмотрение некоторые
Определяющие
уравнения
вводят
в
рассмотрение
некоторые
идеализированные
среды
,
которые
называют
моделями
сред
,
отражающие
поведение
реальных
тел
в
определенном
интервале
нагрузок
и
температур
.
Теория
определяющих
уравнений
основывается
на
некоторых
общих
вытекающих из опыта принципах Рассмотрим три из них известных как
вытекающих
из
опыта
принципах
.
Рассмотрим
три
из
них
,
известных
как
система
аксиом
Нолла
.
Первая
аксиома
называется
принципом
детерминизма
и
постулирует
,
что
напряженное
состояние
в
некоторой
фиксированной
точке
тела
(
описываемое
тензором
напряжения
)
полностью
определяется
историей
движения
тела
до
е зоро
а р
е
)
о
ос ю о реде
е с
с ор е д
е
е а до
текущего
момента
времени
.
Вторая
аксиома
формулирует
ограничение
,
называемое
принципом
локального
действия
,
который
постулирует
,
что
в
напряженное
состояние
в
точке
среды
оказывают
влияние
лишь
процессы
,
протекающие
в
бесконечно
близких
к
ней
р ц
р
щ
точках
.
Естественно
потребовать
,
чтобы
определяющие
уравнения
не
зависели
от
выбора
системы
координат
.
Это
требование
постулируется
третьей
аксиомой
,
которая
называется
принципом
материальной
независимости
(
фф
)
Р
(
индифферентности
)
от
системы
отсчета
.
Распространение
данного
принципа
на
преобразование
по
времени
,
приводит
к
требованию
независимости
определяющих
уравнений
от
времени
явно
.
Уравнения
состояния
Один
из
способов
получения
уравнений
состояния
ДТТ
-
постулирование
существования
полного
дифференциала
у
плотности
внутренней
энергии
.
Например
,
пусть
плотность
внутренней
энергии
записывается
в
виде
где
-
тензор деформации Альманси
-
плотность энтропии Дифференциал от
( )
s
,
A
u
u
ij
=
ij
A
s
где
тензор
деформации
Альманси
,
плотность
энтропии
.
Дифференциал
от
плотности
имеет
вид
Для обратимых процессов имеем
ij
s
ds
s
u
dA
A
u
du
ij
ij
∂
∂
∂
∂
=
+
ds
T
dq
Для
обратимых
процессов
имеем
В
этом
случае
локальная
форма
уравнения
энергии
запишется
в
виде
dt
T
dt
q
=
dt
ds
T
v
t
1
dt
du
ij
ij
+
=
ρ
Учитывая
,
что
получим
dt
dt
j
j
ρ
dt
dA
v
ij
ij
=
Tds
dA
t
1
du
ij
ij
+
=
ρ
Получим
уравнения
состояния
ДТТ
:
j
j
ρ
ij
ij
A
u
t
∂
∂
=
ρ
s
u
T
∂
∂
=
В
случае
бесконечно
малых
деформаций
напряжения
в
первом
соотношении
имеют
потенциал
.
Другие
формы
записи
определяющих
уравнений
ДТТ
получаются
,
если
вместо
внутренней
энергии
ввести
новые
термодинамические
функции
–
свободная
энергия
или
потенциал
Гиббса
.
ij
2.
Основы
теории
упругости