Материал: obrazets_vypolnenia_laboratornykh_rabot_2_semestr
одну итерацию. В результате каждой итерации получается новое значение неизвестных. Для организации итерационного процесса запишем нашу систему в приведенном виде – из 1-го уравнения выражаем x1, из 2-го уравнения выражаем x2, из 3-го уравнения выражаем x3.
Приведенная система уравнений имеет вид:
{
Запишем итерационную формулу метода Зейделя:
{
Переходим к вычислению 1-ой итерации: i=0
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
Проверим достигнута ли точность: |
|
|||
|x11-x10|<eps |
|0,38-0|<0,1 |
|
|0,38|<0,1 нет |
|
|x21-x20|<eps |
|-0,80-0|<0,1 |
|
|0,80|<0,1 нет |
|
|x31-x30|<eps |
|0,41-0|<0,1 |
|
|0,41|<0,1 нет |
|
Точность не достигнута, следовательно, продолжаем процесс вычисления. Переходим к вычислению 2-ой итерации:
i=1
( )
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
Проверим достигнута ли точность: |
|
|
|||
|x12-x11|<eps |
|0,12-0,38|<0,1 |
|
|0,26|<0,1 нет |
|
|
|x22-x21|<eps |
|-0,64-(-0,80)|<0,1 |
|0,16|<0,1 нет |
|
||
|x32-x31|<eps |
|0,52-0,41|<0,1 |
|
|0,11|<0,1 нет |
|
|
Точность не достигнута, следовательно, продолжаем процесс вычисления. Переходим к вычислению 3-ой итерации:
i=2
( )
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
Проверим достигнута ли точность: |
|
|
|||
|x13-x12|<eps |
|0,15-0,12|<0,1 |
|
|0,03|<0,1 да |
|
|
|x23-x22|<eps |
|-0,64-(-0,59)|<0,1 |
|0,05|<0,1 да |
|
||
|x33-x32|<eps |
|0,52-0,52|<0,1 |
|
|0,00|<0,1 да |
|
|
Вывод: точность достигнута, следовательно значения x1=0,15 x2=-0,59 x3=0,52 можно считать приближенным решением системы линейных уравнений с точностью 0,1.
Реализация в MS Excel
|
|
метод Зейделя |
|
||
x1 |
0 |
0,38 |
0,12 |
0,15 |
|
x2 |
0 |
-0,80 |
-0,64 |
-0,59 |
|
x3 |
0 |
0,41 |
0,52 |
0,52 |
|
|x1i+1-x1i|<0,1 |
|
ЛОЖЬ |
ЛОЖЬ |
ИСТИНА |
|
|x2i+1-x2i|<0,1 |
|
ЛОЖЬ |
ЛОЖЬ |
ИСТИНА |
|
|x3i+1-x3i|<0,1 |
|
ЛОЖЬ |
ЛОЖЬ |
ИСТИНА |
|
Реализация в Mcad
27
Лабораторная работа №3
Тема: Вычисление определенного интеграла ∫ ( )
Постановка задачи: Дана интегрируемая функция f(x)=x2-3x, где х изменяется на интервале[-2;6,8] с шагом h.(n=8)
Вычислить приближенное значение интеграла (выполнить ручной счет, реализацию в пакете MCAD, реализацию в табличном процессоре OpenOffice Calc (MS Excel) и рисунки методов) следующими методами:
1)левых прямоугольников;
2)правых прямоугольников;
3)центральных прямоугольников;
4)4) трапеций;
5)5) парабол (Симпсона)
Ручной счет
Дана интегрируемая функция f(x)=x2-3x. Дан интервал [-2;6,8] и n=8.
а=-2 b=6,8.
Вычислим точное значение интеграла
∫ ( |
) |
|
( |
|
|
|
|
|
) |
( ( |
|
|
|
) ( |
( ) |
|
( ) |
)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Обозначим точное значение IT=44,117 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Вычислим шаг |
( |
) |
( |
|
( )) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Составим таблицу значений интегрируемой функции в точках разбиения интервала.
x |
|
|
f(x) |
x0=-2 |
x02 – 3* x0=(2)2 -3*(2)=10 |
||
x1= x0+h=-2+1,1=-0,9 |
x12 – 3* x1=(-0,9)2 -3*(-0,9)= 3,51 |
||
x2= x1+h=-0,9+1,1=0,2 |
x22 – 3* x2=0,22 |
-3*0,2= -0,56 |
|
x3= x2+h=0,2+1,1=1,3 |
x32 – 3* x3=1,32 |
-3*1,3= - 2,21 |
|
x4= x3+h=1,3+1,1=2,4 |
x42 – 3* x4=2,42 |
-3*2,4= - 1,44 |
|
x5= x4+h=2,4+1,1=3,5 |
x52 |
– 3* x5=3,52 |
-3*3,5= 1,75 |
|
|
|
|
x6= x5+h=3,5+1,1=4,6 |
x62 |
– 3* x6=4,62 |
-3*4,6=7,36 |
x7= x6+h=4,6+1,1=5,7 |
x72 |
– 3* x7=5,72 |
-3*5,7= 15,39 |
x8= x7+h=5,7+1,1=6,8 |
x82 |
– 3* x8=6,82 |
-3*6,8= 25,84 |
Метод левых прямоугольников |
|
|
|
|
|
|||
Итерационная формула |
∑ |
( |
) |
|
|
|
||
|
∑ |
( ) |
( ( ) |
( ) |
( ) |
( ) |
( ) |
( ) |
( ) |
( )) |
( |
( |
) ( |
) ( |
) |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим погрешности вычислений Абсолютная погрешность
Относительная погрешность
29
F(x)
|
15.39 |
|
|
|
|
7.36 |
|
|
S7 |
S0 |
3.51 |
|
|
S6 |
|
S1 |
1.75 |
|
S5 |
|
-0.56 |
|
S3 |
|
|
-1.44 |
S2 |
S4 |
|
|
-2.21 |
|
||
|
|
|
|
x |
S1
Рисунок Метода левых прямоугольников
Метод правых прямоугольников
Итерационная формула |
∑ |
( |
) |
|
|
|
|
|
||
|
∑ |
( ) |
( ( ) |
( ) |
( ) |
( ) |
( ) |
( ) |
( ) |
( )) |
( |
( |
) ( |
) ( |
) |
|
|
|
) |
|
|
Вычислим погрешности вычислений Абсолютная погрешность
Относительная погрешность
F(x)
25.84
15.39
7.36
|
3.51 |
|
|
S1 |
1.75 |
|
S5 |
|
-0.56 |
S3 |
S4 |
|
-1.44 |
|
|
|
-2.21 |
|
|
|
S2 |
|
|
S8 |
S7 |
S6 |
x
Рисунок Метода правых прямоугольников