Материал: Основы электротехники. Часть 1. Цепи постоянного тока линейные цепи при гармонических воздействиях. Литвиненко В.П

58

Вычислив I 6 , из (3.19) найдем I5 , из (3.17) вычислим I4 , а затем из уравнений подстановки найдем токи I1 , I2 , I3 .

Как видно, аналитические вычисления достаточно громоздки, и для численных расчетов целесообразней использовать современные программные пакеты, например, MathCAD2001. Пример программы показан на рис. 3.3.

59

I1 2,75А, I2 1,366А, I3 1,384 А. Вычисленные значения

токов совпадают с полученными по приведенным выше формулам.

Общий метод расчета цепи по уравнениям Кирхгофа приводит к необходимости решения p линейных алгебраиче-

ских уравнений. При большом числе ветвей p возникают ма-

тематические и вычислительные трудности. Это означает, что целесообразно искать методы расчета, требующие составления

ирешения меньшего числа уравнений.

3.4.Метод контурных токов

Метод контурных токов базируется на уравнениях второго закона Кирхгофа и приводит к необходимости решения p q 1 уравнений, p - число всех ветвей, в том числе и содержащих идеальные источники тока.

В цепи выбираются p q 1 независимых контуров и для каждого k -го из них вводится кольцевой (замкнутый) контурный ток Ikk (двойная индексация позволяет отличать кон-

турные токи от токов ветвей). Через контурные токи можно выразить все токи ветвей и для каждого независимого контура записать уравнения второго закона Кирхгофа. Система уравнений содержит p q 1 уравнений, из которых определяются

все контурные токи. По найденным контурным токам находятся токи или напряжения ветвей (элементов).

кает только контурный ток I22 и его направление совпадает с I1 , поэтому ток ветви I1 равен

Для контуров, не содержащих идеальные источники тока, составляем уравнения второго закона Кирхгофа с использованием закона Ома, в данном примере записывается одно уравнение

Если в контур включен идеальный источник тока, то для него уравнение второго закона Кирхгофа не составляется, а его контурный ток равен току источника с учетом их положительных направлений, в рассматриваемом случае

Тогда система уравнений принимает вид

В результате подстановки второго уравнения в первое получим

61

ветственно I2 I11 I22 0,714А, что полностью совпадает с

полученными ранее результатами. При необходимости по найденным значениям токов ветвей по закону Ома можно вычислить напряжения на элементах цепи.

Рассмотрим более сложный пример цепи на рис. 3.2, схема которой с заданными контурными токами показана на рис. 3.4. В этом случае число ветвей p 7 , количество

Первые три контура не содержат идеальных источников тока, тогда с учетом (3.28) и использованием закона Ома для них можно записать уравнения второго закона Кирхгофа,

В четвертом контуре присутствует идеальный источник тока, поэтому для него уравнение второго закона Кирхгофа не составляется, а контурный ток равен току источника (они совпадают по направлению),

Подставляя (3.30) в систему (3.29), после преобразования получим три уравнения для контурных токов в виде

Систему уравнений (3.31) можно решить аналитически (например, методом подстановки – проделайте это), получив формулы для контурных токов, а затем из (3.28) определить токи ветвей. Для численных расчетов удобно использовать пакет программ MathCAD, пример программы показан на рис. 3.5. Результаты вычислений совпадают с расчетами, приведенными на рис. 3.3.

Как видно, метод контурных токов требует составления и решения меньшего числа уравнений по сравнению с общим методом расчета по уравнениям Кирхгофа.

63

Рис. 3.5

3.5. Метод узловых напряжений

Метод узловых напряжений базируется на первом за-

коне Кирхгофа, при этом число уравнений равно q 1.

В цепи выделяются все q узлов и один из них выбирается в качестве базисного, которому присваивается нулевой потенциал. Потенциалы (напряжения) U11,U22 … U(q 1)( q 1) остальных q 1 узлов отсчитываются от базисного, их положи-

тельные направления обычно выбираются стрелкой в базисный узел. Через узловые напряжения с использованием закона Ома и первого закона Кирхгофа выражаются токи всех ветвей

64

и для q 1 узлов записываются уравнения первого закона

Кирхгофа.

Рассмотрим пример цепи, показанной на рис. 3.1, для метода узловых напряжений ее схема показана на рис. 3.6. Нижний узел обозначен как базисный (для этого используется символ «земля» - точка нулевого потенциала), напряжение верхнего узла относительно базисного обо-

Рис. 3.6 значено как U11 . Выразим через него токи ветвей

По первому закону Кирхгофа с учетом (3.32) запишем единственное уравнение метода узловых напряжений

( q 1 1),

Решая уравнение, получим

а из (3.32) определим токи ветвей

65

Полученные результаты совпадают с полученными рассмотренными ранее методами.

Рассмотрим более сложный пример цепи, показанной на рис. 3.2 при тех же исходных данных, ее схема показана на рис. 3.7. В цепи q 4 узла,

нижний выбран базисным, а три остальные обозначены номерами в кружках. Введены

Рис. 3.7. положительные направления и обо-

значения узловых напряжений U11 , U22 и U 33 .

По Закону Ома с использованием второго закона Кирхгофа определим токи ветвей,

По первому закону Кирхгофа для узлов с номерами 1, 2 и 3 необходимо составить три уравнения,

I1 I2 I3 0,

I3 I6 I5 I0 .

Подставляя (3.36) в (3.37), получим систему уравнений метода узловых напряжений,

После преобразования и приведения подобных получим

Программа расчета узловых напряжений и токов ветвей приведена на рис. 3.8. Как видно, полученные результаты совпадают с полученными ранее другими методами расчета.

Проведите аналитический расчет узловых напряжений, получите формулы для токов ветвей и вычислите их значения.

67

Рис. 3.8

3.6. Метод наложения

Метод наложения заключается в следующем.

Реакция цепи (ток или напряжение) на воздействие нескольких источников равна сумме реакций на действие каждого из них в отдельности, при этом остальные источники должны быть выключены

68