Материал: Введение в статистические методы управления качеством. учебное пособие. Пентюхов В.И., Мищенко Е.В

Нарисуйте в масштабе контрольную карту с установленными контрольными и предельными отклонениями и нанесите на нее результаты полученных четырех выборок. Прокомментируйте полученный результат.

Решение.

Информация, имеющаяся в постановке вопроса, достаточна для построения контрольной карты.

Заданы только верхние сигнальное и предельное

отклонения, а также предполагается, что никакое вмешательство не нужно, если характеристики процесса улучшаются.

Однако все же следует изучить причины улучшения процесса, чтобы сохранить это улучшение.

Прежде, чем наносить на график четыре новые точки, следует провести небольшие вычисления:

Можно видеть, что три раза объем выборки выходит за установленный диапазон 116 ± 25%, который определяет, что размер выборки должен находится в границах от 87 до 145 единиц продукции.

Несмотря на это, все четыре точки оказываются ниже установленного сигнального значения +2  Однако, каждое значение все же оказывается выше среднего.

Четырех точек еще не достаточно, чтобы делать какие-либо выводы, но, если подобный характер будет продолжаться и далее, то можно сделать вывод о наличии систематической погрешности.

Рис. 4.6. Фрагмент контрольной карты (р - карта)

5. Контрольные карты количественных и интегрально-суммарных признаков [7]

Этот раздел завершает обзор методов управления процессами.

В нем рассматриваются вопросы построения и R контрольных карт, известных также под именем их автора американского статистика Уолтера Л. Шухарта.

Таким образом, основными темами данного раздела являются:

• контрольные карты для средних значений и диапазонов измеренных переменных;

• вычисление и использование сигнальных контрольных уровней;

• интегрально-суммарные диаграммы.

После проработки данного раздела и выполнения заданий необходимо уметь:

• строить и уметь использовать  и R контрольные карты;

• различать ситуации, возникающие как в результате случайных погрешностей, так и в результате «разрегулирования» самого процесса;

• знать, когда следует предпринимать какие-либо действия и когда вообще не нужно ничего предпринимать;

• строить и уметь использовать интегрально-суммарные диаграммы;

• понимать, когда интегрально-суммарные диаграммы дают более полезную информацию, чем традиционные контрольные карты.

5.1. Вычисление предельных отклонений для нормального закона распределения

Данный раздел имеет целью обратить внимание на два важных фактора:

1. на то, каким образом исходные данные о процессе должны быть собраны и обработаны для того, чтобы построить кривую возможности процесса;

2. на рутинность вычислений при определении точных предельных отклонений, и преимущества и R диаграмм над и S диаграммами.

Основными важнейшими параметрами нормального закона распределения являются:

• математическое ожидание ( ), которое по данным статистической выборки размера n вычисляется как среднее арифметическое

1.

• дисперсия ( ), которая по данным статистической выборки размера n вычисляется как

2. .

Пример 1.

Проведенное в Северном море обследование позволило получить следующие данные для трала с треской, в котором находилось 317 единиц этой рыбы:

Требуется

1. Построить по этим данным гистограмму.

2. Определить среднее арифметическое значение и стандартное отклонение средней длины рыбы с точностью до второго знака после запятой.

3. Отметить точки ±  , ±2  и ± 3  на гистограмме.

Решение.

Для ответа на поставленные вопросы и чтобы сгладить некоторые погрешности оказывается более удобным перестроить статистические данные, задав интервалы для размера рыбы:

По этим данным построить гистограмму, при этом средняя длина рыбы составила примерно 30,5 см.

Для удобства вычислений и S построена таблица, в которой принято обозначение: t = X - 30,5

Если выбранное нами число для оказалось верным, то сумма всех f ґ t должна быть равна нулю, а раз это не получилось, то мы должны ввести поправку равную - 90/317 = - 0,28. Поэтому расчетная средняя длина рыбы составит значение  = 30,50 ‑ 0,28 = 30,22 см.

Если выбранное нами число для оказалось верным, то сумма всех f ґ t должна быть равна нулю, а раз это не получилось, то мы должны ввести поправку равную - 90/317 = - 0,28. Поэтому расчетная средняя длина рыбы составит значение  = 30,50 ‑ 0,28 = 30,22 см.

Дисперсия длины рыбы имеет величину:

3732/317 - (-90)/317=11,773 - 0,28 = 11,493.

Для получения большей точности можно воспользоваться поправкой Бесселя, учитывающей размер выборки.

Эта поправка равна n/(n‑1) = 317/316 = 1,003.

При этом скорректированное значение дисперсии составит 11,493 ґ 1,003 = 11,527.

Откуда, стандартное отклонение S = = ±3,40 см.

5.2. Контрольные карты для средних арифметических значений и размахов: и r

Непрерывная переменная, характеризующая какое-либо свойство продукции, (т.е. переменная, которая может принимать любые значения, а не только дискретные) будет всегда иметь тенденцию к нормальному закону распределения, если выполняются следующие условия:

(а) каждое изделие изготавливается на одно и то же номинальное целевое значение, но при этом:

(б) имеется множество малых возмущений, которые не позволяют точно достигнуть этого номинального значения, причем:

• влияние каждого возмущения независимо и аддитивно;

• среднее результирующее каждого возмущения равно нулю.

Нормальное распределение с любыми значениями параметров  и  может быть стандартизовано (приведено нормальному распределению с параметрами  ₀ = 0 и  ²₀ = 1) простым преобразованием:

Z = (x -  )/  ,

где х - конкретное значение из распределения, которое анализируется.

Ранее мы рассматривали отдельные наблюдения, взятые из нормального распределения. Однако при построении контрольных карт мы не анализируем каждое отдельное изделие, а только их выборки.

Чем меньше объем выборки, тем более узкого размаха (разброса) значений мы вправе ожидать. Для выборок справедливы утверждения:

• если генеральная совокупность имеет нормальный закон распределения, то и распределение в выборке также будет нормальным;

• среднее значение в выборке будет таким же, что и в генеральной совокупности: ;

• стандартное отклонение для среднего арифметического выборки будет равно стандартному отклонению для генеральной совокупности, деленному на корень квадратный из объема выборки: , где n - размер выборки.

Другим преимуществом выборок является то, что даже если генеральная совокупность не подчиняется нормальному закону распределения, то распределение в выборке является приблизительно нормальным. Поэтому в результате построения контрольной карты в предположении нормального закона распределения может быть получен верный результат даже тогда, когда генеральная совокупность не подчиняется нормальному закону распределения.

5.3. Диапазон как замена стандартного отклонения

Из формулы для вычисления стандартного отклонения, а также из примера 1 становится очевидным, что проведение вычислений вручную или с помощью карманного калькулятора представляет собой достаточно трудоемкий и длительный процесс.

Зачастую, оказывается возможным в качестве альтернативы использовать диапазон значений в выборке — их размах , где и - соответственно максимальное и минимальное значения параметра X в выборке.