Материал: Задачи и упражнения для организации самостоятельной работы по дисциплинам «Математика», «Спецглавы математики». Катрахова А.А., Васильев Е.М

6. Как использовать эквивалентность бесконечно малых при вычислении пределов?

3

Из полученного следует, что x – бесконечно малая более высокого порядка чем x .

Пример 2. Определить порядок малости x относительно x

при x 0, если x ln 1 x 2 2 .

Решение.При x 0 имеем

36

из полученного следует, что порядок малости x от-

носительно x при x 0 равен 1 .

2

лентные бесконечно малые.

Решение. Обозначаем lim ctg x x 0 u , а затем логариф-

x 0

мируем:

lnu ln lim ctg x x lim ln ctg x x lim xlnctg x 0

Таким образом lim ctg x x e0 1.

x 0

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

Решить задачи: [13], 210, 220, 245-251, 283-302, 344-348, 369-378, 396-401, 414.

Форма отчетности: конспект, устный опрос.

ЗАНЯТИЕ № 12

ПРОИЗВОДНАЯ. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Литература: [12], с. 64-77, [16],c. 106-110.

Контрольные вопросы и задания

1.Дайте определение производной.

2.Каков физический смысл производной?

3.Что называется касательной к кривой?

4.В чем состоит геометрическое значение производной?

5.Докажите следующие теоремы:

–производная постоянной равна нулю;

–постоянный множитель можно выносить за знак про-

изводной;

–о производной суммы конечного числа дифференцируемых функций;

38

–о производной от произведения двух дифференцируемых функций;

–о производной частного от деления двух функций.

Примеры решения задач

В примерах 1-9 найти производную y функции y x .

3 x2

Решение. Для нахождения производной воспользуемся правилами дифференцирования суммы и дифференцирования степенной функции.

Решение. Для нахождения производной воспользуемся правилами дифференцирования произведения, суммы и дифференцирования степенной функции.

y 1 x12 1 x3 1 x12 1 x3 1 x12 1 x3

Решение. Для нахождения производной воспользуемся правилами дифференцирования частного, суммы и дифференцирования тригонометрических функций.

Пример 4. y arccosx . x

Решение. Для нахождения производной воспользуемся правилами дифференцирования частного и дифференцирования обратных тригонометрических функций.

Пример 5. y x arctgx 1.

Решение. Для нахождения производной воспользуемся правилами дифференцирования произведения, обратных тригонометрических функций, сложной функции и степенной функции.

y x arctg x 1 12 x arctgx 1 x arctg x 1 12

40