Материал: Задачи и упражнения для организации самостоятельной работы по дисциплинам «Математика», «Спецглавы математики». Катрахова А.А., Васильев Е.М

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

Решить задачи: №№ 4314–4321 [17].

Форма отчетности: устный опрос, контрольная работа, типовой расчет.

ЗАНЯТИЕ № 24

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (МЕТОД ИСКЛЮЧЕНИЯ)

Литература: [12], с. 103-107, [20], с. 204-206; [33], c. 49-50.

Контрольные вопросы и задания

1.Какая система дифференциальных уравнений называется нормальной?

2.В чем состоит метод исключения неизвестных в нормальной системе?

3.Каков алгоритм метода исключения?

4.Какой метод решения систем более общий: метод характеристического уравнения или метод исключения неизвестных?

Примеры решения задач

x 2x 16x 10y 24z . Полученное уравнение дифференци-

го используем первые два уравнения системы , из которых, после преобразований, находим

2y x 4x 4x

4z x 3x 6x

и эти выражения подставим в третье уравнение основной системы и получим однородное дифференциальное уравнение третьего порядка с постоянными коэффициентами относитель-

4z 4C1et 4C2e2t 6C3e3t . В итоге, общее решение исходной системы имеет следующий вид:

Первое уравнение дифференцируем поt, после чего вместо y подставим выражение из второго уравнения системы: x 3y sint et 12y 3cost sint 7et . Из этого уравне-

ния и первого уравнения исходной системы составим новую

88

Подставляя начальные условия, определяем значения постоянныхC1 и C2:

Итак, частное решение исходной системы, удовлетворяющее начальным условиям, имеет вид

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

Решить задачи: №№ 4324.1–4324.4 [17], а также задачи:

Форма отчетности: устный опрос, контрольная работа.

ЗАНЯТИЕ № 25

ПОНЯТИЕ О ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ЛЯПУНОВА

Литература: [12], c. 113-127; [33], c. 158-160.

89

Контрольные вопросы и задания

1.Дайте определение устойчивости по Ляпунову решения системы дифференциальных уравнений.

2.Дайте определение асимптотической устойчивости решения системы дифференциальных уравнений.

3.Какое решение называется неустойчивым?

4.Какая система называется автономной?

5.Какая система называется динамической?

6.Что такое фазовая плоскость?

7.Что такое фазовые кривые?

8.Что такое положение равновесия?

9.Чем определяется качественное поведение фазовых траекторий вблизи положения равновесия?

10.Какими должны быть корни характеристического уравнения для системы вида (7.2), чтобы решение было устойчивым (неустойчивым)?

11.На примере системы вида (7.2) исследуйте вопрос о том каким условиям должны удовлетворять коэффициенты системы, чтобы решение было устойчивым (неустойчивым).

12.Что значит решение системы (7.2) устойчиво (неустойчиво)? Поясните на примере.

13.В каком случае особая точка называется устойчивым (неустойчивым) узлом?

14.Какая особая точка называется седлом?

15.Когда особая точка называется устойчивым (неустойчивым) фокусом?

16.В каком случае особая точка является центром?

17.В каких случаях фазовыми траекториями являются параллельные прямые?

18.Исследуйте вопрос о соответствии случаяad cb 0 ( ad cb 0) различным видам фазовых траекторий.

19.Каков порядок исследования системы (7.3)?

20.В чем состоит глобальная задача качественной теории систем дифференциальных уравнений?

90