Материал: Задачи и упражнения для организации самостоятельной работы по дисциплинам «Математика», «Спецглавы математики». Катрахова А.А., Васильев Е.М

Смотрите также:

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Примеры решения задач Пример 1. Исходя из определения устойчивости по Ляпунову,

выяснить устойчивость решения дифференциального уравнения

dx a x с начальным условием x 1 0. dt t

Решение. Разделяем переменные dx a dt и получаем общее x t

решение x Cta . Частное решение, удовлетворяющее данному начальному условию, есть xч 0. Нетрудно установить, что любое другое частное решение, удовлетворяющее начальному условию x 1 x0 0, имеет вид xч x0ta . Разность произ-

вольного частного решения и частного решения при данном на-

чальном условии

равна

0 x0t

. Рассмотрим

xч xч x0t

различные случаи постоянной a:

1) Если a 0, то

x0t

, а модуль разности

xч xч

x0 0

начальных условий

. Следовательно, при

по определению решение устойчиво, но не асимптотически устойчиво.

2) Если a 0, то

x0t

0приt . Следо-

xч xч

вательно, решение асимптотически устойчиво.

3) Если a 0, то

x0t

приt .

xч xч

Следовательно, решение неустойчиво.

Пример 2. Исследовать на устойчивость все положения равно-

	dx	2x y x3


весия системы уравнений			.
	dt
	dy	x 2y 3x	5

	dt
		91

Решение. Положения равновесия данной системы определяют-

дуем вопрос устойчивости каждого из них, для чего определяем

производные

2x y x3

2 3x2 ,

2x y x3 1,

x 2y 3x5 1 15x4,

x 2y 3x5 2.

O 0,0 получаем

Для точки

a 2,

b 1,

c 1,

d 2.

Поэтому соответствующая система первого приближения имеет

		dx			2x y


вид		dt					.	Ее характеристическое		уравнение
вид							.	Ее характеристическое		уравнение
			dy		x 2y
					x 2y
		dt
	2				1	2 4 5 0.			Корни этого	уравнения
	2				1
	1			2
	1			2
1,2		2 i . Значит,						положение	равновесия O 0,0	является
устойчивым фокусом.
2) Для точки A 1,1							получаем a 1, b 1, c 14, d 2.

Поэтому соответствующая система первого приближения име-

		d x 1			x 1	y 1
					x 1	y 1
ет вид		dt					. Ее характеристическое уравне-

	d y 1			x 1 2 y 1
			14
			14
		dt


ние			1			1	2 16 0.						Корни	этого уравнения
			14		2
	1									1		0. Значит, положение равновесия
	1			65	0	и		2		1	65	0. Значит, положение равновесия
1		2						2	2
A 1,1		2							2
A 1,1		неустойчиво и является седлом.
3) Для точки						B 1, 1 получаем							a 1,	b 1, c 14, d 2.

Поэтому соответствующая система первого приближения имеет

					d x 1					x 1	y 1
										x 1	y 1
вид					dt							. Ее характеристическое уравнение

		d y 1
							14 x 1 2 y 1
					dt		14 x 1 2 y 1
					dt
													1	1
	1		1					2 16 0. Корни этого уравнения							65	0
	1		1												65
	14		2
	14		2										2
				1									B 1, 1
и 2				1		65			0. Значит, положение равновесия							не-
и 2									0. Значит, положение равновесия							не-
			2

устойчиво и является седлом.

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

В задачах №№ 1, 2 исходя из определения устойчивости по Ляпунову, выяснить устойчивость решения дифференциальных

уравнений dx f t,x с начальным условием x 0 0. dt

1)	dx	1 t x.	2)	dx	sin2 x.

	dt			dt

В задачах №№ 3–10 исследовать тип положения равновесия систем и построить фазовые траектории.

3)dx 3x 2y dt

5)	dx	2y,	dy
			dt
	dt


,	dy	x 4y.		4)		dx	x,	dy		x 2y.


	dt					dt		dt
2x 3y .			6)	dx	x y ,				dy		x y .

				dt					dt

4x 2y,

2x y.

x y.

x y ,

x y.

10)

В задачах №№ 11, 12 исследовать на устойчивость все положения равновесия систем.

11)

x x y 2

, 12)

sin y

y 1 x

sin x

Форма отчетности: конспект, устный опрос.

ЗАНЯТИЕ № 26

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Литература: [33], c. 14-16.

При изучении этой темы воспользуйтесь методическими указаниями к выполнению лабораторных работ на языках программирования высокого уровня .

Контрольные вопросы и задания

1. В чем состоит метод Эйлера приближенного решения дифференциального уравнения вида y f x, y ? Опишите ал-

горитм метода?

2.Что такое ломаная Эйлера? Как она соотносится с интегральной кривой?

3.Каков алгоритм метода Адамса приближенного решения дифференциальных уравнений?

4.Как выводится формула Адамса? Как при этом используется формула Тейлора?

5.Какой метод более точный: метод Эйлера или метод Адамса?

6.В чем заключается метод Рунге-Кутта приближенного решения дифференциальных уравнений?

7.Какие Вы еще знаете методы численного решения дифференциальных уравнений?

8.Как ищется приближенное решение систем дифференциальных уравнений первого порядка?

9.Составить программу для приближенного решения уравнений или систем одним из перечисленных методов.

Форма отчета: программа и результаты счета.

ЗАНЯТИЕ № 27

ПРИМЕНЕНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

КВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

ИИНТЕГРИРОВАНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Литература: [12], c. 290-294

Контрольные вопросы и задания

1.При каких условиях степенной ряд можно почленноинтегрировать и интеграл от суммы равен сумме интегралов?

2.Как используются степенные ряды для приближенных вычислений определенных интегралов?

3.Когда степенной ряд можно почленнодифференцировать и производная суммы равна сумме производных?

4.Как найти приближенное решение дифференциального уравнения в виде степенного ряда?

5.Если решение представимо в виде ряда Тейлора, как находится приближенное решение?

6.В чем состоит метод решения дифференциального уравнения с помощью степенных рядов?

Источник: https://studfile.net/preview/16565425/

ся из системы уравнений

Отсюда находим

ся из системы уравнений

Отсюда находим

три положения равновесия O 0,0 ,

B 1, 1 . Иссле-




_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога