Материал: Задачи и упражнения для организации самостоятельной работы по дисциплинам «Математика», «Спецглавы математики». Катрахова А.А., Васильев Е.М

Примеры решения задач Пример 1. С помощью разложения в степенной ряд вычислить

Решение. Разложим подынтегральную функцию в биномиаль-

.

Полученный результат представляет знакочередующийся сходящийся числовой ряд. Взяв сумму первых двух его членов, получим приближенное значение интеграла с заданной точностью: I 0,50000 0,00313 0,49687 0,4969, так как абсолютное значение третьего члена меньше 0,0001. Заметим здесь, что промежуточные вычисления проводятся с одним лишним знаком после запятой.

Пример 2. Найти решение дифференциального уравнения

y y y 0 с начальными условиями y 0 1, y 0 0. x

Решение. Полагая, что искомое решение представляет сходящийся степенной ряд

96

y a0 a1x a2x2 akxk akxk ,

k 0

найдем ряды для y и y его почленным дифференцированием

y a1 2a2x 3a3x2 k 1 ak 1xk k 2 ak 2xk 1

,

y 2a2 6a3x 12a4x2 k 2 k 1 ak 2xk .

Используя начальные условия, найдем значения двух

дение подобных слагаемых, получим

1 4a2 9a3x a2 16a4 x2 a3 25a5 x3

ak k2 4k 4 ak 2 xk 0.

Приравнивая к нулю все коэффициенты ряда, стоящего в левой части этого равенства, получаем систему уравнений

из которой определяем значения остальных коэффициентов:

Таким образом, искомое частное решение дифференциального уравнения имеет вид

.

Пример 3. Найти первые шесть членов разложения в ряд решения уравнения y xsin y , удовлетворяющего начальным ус-

ловиям y 1 0, y 1 .

2

Решение. Будем искать решение уравнения в виде ряда Тейло-

yV 2y cos y 2 y 2 sin y y cos y xyIV cosy

xy y sin y y 2 sin y 2xy y sin y x y 3 cosy

3y cos y 3 y 2 sin y 3xy y sin y xyIV cosy

x y 3 cos y , yV 1 3 3 6.

Так как первое слагаемое ряда y 1 0, то вычислим еще

yVI 3yIV cos y 3y y sin y 6y y sin y 3 y 3 cosy3y y sin y 3x y 2 sin y 3xy yIV sin y 3x y 2 y cos y

98

yIV cos y xyV cos y xyIV y sin y y 3 cosy

3x y 2 y cos y x y 4 sin y ,

yVI 1 3 6 3 3 3 1 1 10.

Таким образом, первые шесть членов разложения в ряд частного решения уравнения имеют вид

y x x 1 1 x 1 2 1 x 1 3 1 x 1 4

1 x 1 5 1 x 1 6 .

20 72

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

Решить задачи №№ 2930, 2931, 2935, 2936 [13]; 12.325, 12.326, 12.327, 12.329, 12.332 [19].

Форма отчетности: устный опрос, контрольная работа.

ЗАНЯТИЕ № 28

РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД ФУРЬЕ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НА ИНТЕРВАЛЕ (0, l)

Литература: [12], 331-333; [20], 257-259; [36], c. 31-35.

Контрольные вопросы и задания

1.Какой ряд называется тригонометрическим?

2.Сформулируйте достаточный признак разложимости функций в ряд Фурье.

3.Как разложить в ряд Фурье периодическую функцию с пе-

риодом 2 ?

4. Выведите формулы для вычисления коэффициентов ряда Фурье, если функция имеет период 2l .

99

5. Как разложить в ряд Фурье функцию, заданную на интервале

0, l ?

6.Что означает: "продолжить функцию четным образом", "нечетным образом"?

7.Как будет выглядеть график функции, продолженной четным или нечетным образом?

8.Как при таких продолжениях определяются коэффициенты разложения в ряд Фурье?

Примеры решения задач Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию, заданную на ин-

Решение. Продолжаем периодически данную функцию на всю числовую ось (рис. 14).

y

2

1

Рис. 14 Вычисляем коэффициенты ряда Фурье по формулам , учитывая, что T l 2:

100