Материал: Задачи и упражнения для организации самостоятельной работы по дисциплинам «Математика», «Спецглавы математики». Катрахова А.А., Васильев Е.М

Смотрите также:

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

	sink x	1		sink x	cosk x		2	1 1 k


			x						,
					k2 2			k2 2
	k	0		k			1


2				1		2

bk f x sink xdx sink xdx xsink xdx

0				0	1
	cosk x	1	x	cosk x	sink x	2	1



					k2 2
	k	0		k		1		k

Подставляя найденные значения коэффициентов в ряд , окончательно получим

	5		1	1	1 1	k
f x

4		k 1 k			k

cosk x sink x .

Пример 2. Функцию из примера 1 разложить в ряд Фурье по косинусам.

Решение. Продолжим данную функцию на отрезок 2,0 чет-

ным образом, а получившуюся функцию, в свою очередь, продолжим периодически (период T 2l 4) на всю числовую ось

(рис.15).

				y
				2
				2
				1
-		-		0
					1 2	6 x
	6		2		1 2	6 x

Рис. 15

Вычисляем коэффициенты ряда Фурье по формулам

f x

cos

k x

1 cos

k x

2 xcos

k x

sin

cos

2 2

0 k

2 k

cos

2 2

Подставляя найденные значения коэффициентов в ряд , окончательно получим

	5	4		1		k		k		k x
f x					1		cos		cos		.
	4	2						2		2
			k 1k2

Пример 3. Функцию из примера 1 разложить в ряд Фурье по синусам.

Решение. Продолжим данную функцию на отрезок 2,0 не-

четным образом, а получившуюся функцию, в свою очередь, продолжим периодически (период T 2l 4) на всю числовую

ось (рис. 16).

-6	-2	0	1 2	6 x

Рис. 16 Вычисляем коэффициенты ряда Фурье по формулам

b	2	f x sin	k x	dx	1 sin	k x	dx	2 xsin	k x	dx
b		f x sin		dx	1 sin	2	dx	2 xsin	2	dx
k		2				2			2
k
	0				0			1
		102

2			k x		1		2x		k x			4					k x	2


		cos						cos							sin
													k2 2
	k	2			0		k		2								2	1


				2		4	1 k				4	sin		k		.
				k		k				k	2 2
												2

Подставляя найденные значения коэффициентов в ряд (10.5), окончательно получим

2	1			k	2		k		k x
f x		1 2	1			sin		sin		.
							2		2
k 1 k					k

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

Решить задачи:№№ 12.495, 12.497, 12.500 [19].

Форма отчетности: устный опрос, контрольна

ЗАНЯТИЕ № 29

ПРИЛОЖЕНИЯ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Литература: [12], c. 166-168, 179-189, 194-195, 199-200; [35].

Основные понятия

Приложения двойных интегралов

Пусть G - материальная бесконечно тонкая пластинка с поверхностной плотностью x, y . Тогда справедливы сле-

дующие формулы:

а) S dxdy - площадь плоской областиG ;

б) m x, y dxdy - масса пластинки;

103

в) Mx y x, y dxdy ,	My x x, y dxdy - стати-
G	G

ческие моменты пластинки относительно осейOx и Oy ;

г) x	My	,	y	Mx	- координаты центра тяжести

c	m		c	m

пластинки;

д) Ix y2 x, y dxdy , Iy x2 x, y dxdy - моменты

G G

инерции пластинки относительно осейOx и Oy ;

е) I0 Ix Iy x2 y2 x, y dxdy - момент инерции

пластинки относительно начала координат;

ж) если гладкая поверхность имеет уравнение z f x,y , то площадь части поверхности, проектирующей-

ся в областьG плоскости xOy, равна

			z 2	z 2
Q		1			dxdy;

			x
	G			y

з) объемV цилиндра, ограниченного сверху непрерывной поверхностью z f x,y , снизу плоскостью z 0 и

с боков прямой цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости xOy область G , выражается интегралом

V f x, y dxdy.

Приложения тройных интегралов

Пусть T - материальное тело с объемной плотностью

x, y,z . Тогда справедливы следующие формулы:

а) V dxdydz - объем тела;

104

б) m x, y,z dxdydz - масса тела;

в) Myz x x, y,z dxdydz,

Mxz y x, y,z dxdydz,			Mxy z x, y,z dxdydz - ста-
T				T
тические моменты тела относительно координатных
плоскостей yOz , xOz, xOy;
г) x	Myz	,	y	Mxz	,	z	c	Mxy	- координаты

c	m		c	m				m
центра тяжести тела;
д) Iyz x2 x, y,z dxdydz,
	T
Ixz y2 x, y,z dxdydz,			Ixy z2 x, y,z dxdydz - мо-
T				T

менты инерции тела относительно координатных плоско-

стей yOz , xOz, xOy;

е) Ix Ixz Ixy , Iy Iyz Ixy , Iz Iyz Ixz - мо-

менты инерции тела относительно осей координатOx, Oy ,

Oz; I0 Iyz Ixz Ixy x2 y2 z2 x, y,z dxdydz - мо-

мент инерции тела относительно начала координат.

Контрольные вопросы и задания

1.Как вычисляется площадь плоской области с помощью двойного интеграла?

2.Как вычисляется объем тела с помощью двойного интеграла?

3.Выведите формулу для вычисления площади гладкой по-

верхности z z x,y .

105

Источник: https://studfile.net/preview/16565425/

f x dx dx xdx

f x dx dx xdx




_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога