Материал: Задачи и упражнения для организации самостоятельной работы по дисциплинам «Математика», «Спецглавы математики». Катрахова А.А., Васильев Е.М

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

4.Как вычисляются площади поверхностей, заданных уравне-

ниями x x y,z y y x,z ?

5.Что такое поверхностная плотность вещества?

6.Как определить общее количество вещества в плоской области D (массу пластинки) с помощью двойного интеграла?

7.Как находятся моменты инерции плоской фигуры относительно координатных осей?

8.Как находится момент инерции плоской фигуры относительно начала координат? Покажите его связь с моментами инерции относительно координатных осей.

9.Как определяются координаты центра масс плоской фигуры?

10.Что такое статические моменты плоской фигуры? Как они вычисляются?

11.Как вычисляется объем тела тройным интегралом?

12.Как вычисляется масса пространственного тела?

13.Как найти моменты инерции пространственного тела отсительно координатных плоскостей?

14.Как найти моменты инерции пространственного тела относительно осей координат?

15.Как найти момент инерции пространственного тела отностельно начала координат?

16.Как определить статические моменты пространственного тела относительно координатных плоскостей?

17.Как определить координаты центра масс пространственного тела?

Примеры решения задач Пример1. Найти массу пластинки, ограниченной линией

x2 y2 2x, если ее плотность в любой точке пропорциональна квадрату расстояния от начала координат.

Решение. Линия x2 y2 2x или x 1 2 y2 1 является ок-

ружностью с центром в точке 1, 0 и радиусом 1 (рис. 17). По-

этому при вычислении интеграла удобно перейти к полярным

106

координатам. Подставляя в уравнение окружности полярные координаты, получим r 2cos . Плотность пластинки в по-

лярных координатах kr2 , где k - коэффициент пропорциональности. Таким образом, получаем

m x, y dxdy kr2rdrd k						2		2cos
m x, y dxdy kr2rdrd k							d				r3dr
D			D			2			0
	2		3			sin4						3 k
	2							2
	cos4							2
4k	cos4	d k		2	sin2	8						.
	2			2		8				2		2
										2
	y				y		2
							2
							x
							=
							y		x
									x
		D						=
					1			y
					1
	0	1	2	x			D
					0		1			x
	Рис. 17				Рис. 18

Пример 2. Найти координаты центра масс однородной плоской фигуры, ограниченной кривыми y x и y x2 .

Решение. Построим область D, ограниченную данными кривыми (рис. 18). Вычислим массу пластинки, учитывая, что ее плотность x, y const

	1		x		1		x2			x3	1
						x x2
m		dx		dy			dx						.

								2	3			6
	0		x2		0						0

Вычислим статические моменты пластинки относительно координатных осей Ox и Oy

107

Mx y x, y dxdy dx

ydy

dx x2 x4

My x x, y dxdy xdx dy

xdx x x2

Окончательно имеем

0,5;

0,4.

0,5

1 y

Рис. 19

Рис. 20

Пример3. Вычислить массу тела T , ограниченного по-

верхностями

z 0,

z 12 x2 y2,

если плотность

тела

x, y,z x y 2 z.

Решение. Область T

представляет собой конус с основанием

G - круг радиуса 1 с центром в начале координат (рис. 19). При вычислении интеграла удобнее перейти к цилиндрическим ко-

ординатам r, ,z , в которых уравнение нижней половины ко-

нуса имеет вид z 1 r. Получаем

	2	1	1 r	r2 1 sin2 z dz
m x, y,z dxdydz		d rdr		r2 1 sin2 z dz
T	0	0	0

108

2		1						1			2
	d r		r2 1 r 1 sin2						1 r			dr
	d r		r2 1 r 1 sin2					2	1 r			dr
0		0						2
		2		1	1 sin2	1				11
							d					.
				20		24	d			60		.
				20		24				60
		0

Пример 4. Вычислить момент инерции относительно оси Ox


однородного		тела	T	плотности ,		ограниченного		по-
верхностью x2 y2			z2 z.
Решение.	Область		T	представляет собой шар, ограниченный
сферой,	уравнение			которой	удобно	записать	в	виде
x2 y2 z 1 2 2 1 4 (рис. 20),					G - проекция шара на плос-
кость X,Y .		При вычислении интеграла				удобнее	перейти к

сферическим координатам r, , , в которых уравнение сферы

принимает вид r cos . Получаем											x rcos sin
			Ix y2						z2 dxdydz		x rcos sin
			Ix y2						z2 dxdydz		y rsin sin
				T								z rcos
	2		2						cos
d				sin d r2 sin2 sin2 cos2 r2dr
	0		0						0
			2	2
			d			sin2 sin3 cos5 sin cos7 d
		5	d			sin2 sin3 cos5 sin cos7 d
			0	0
		2	sin2							cos3 2		sin4		2	cos8	2
																2

			d						cos2
	5		d	32					cos2	3		4			8
	5			32						3		4			8
		0														0
		0						2			7					0
								2			7
							sin2 3 d						.
					120		sin2 3 d				120		.
						0
									109

Пример 5. Найти моменты инерции Ix и Iy относительно осей

Ox и Oy пластинки с плотностью 1, ограниченной кривы-

ми xy 1,	xy 2 , y 2x,	x 2y и расположенной в первом
квадранте.			Ix y2dxdy
Решение.	Необходимо	вычислить	Ix y2dxdy	и
			G

Iy x2dxdy . В декартовой системе координат, чтобы свести

каждый из этих двойных интегралов к повторному нужно область G (рис. 21) разбить на три части, поэтому удобнее перей-

ти к полярным координатам				x rcos , y rsin . Тогда
изменяется от	arctg	1	до		2	arctg2, а при каждом значе-

1	2

нии переменная r изменяется от r1 1							cos sin	(зна-

чения r	на кривой xy 1, уравнение которой в полярных коор-
динатах в первом квадранте имеет вид																	r 1								) до
динатах в первом квадранте имеет вид																	r 1				cos sin				) до
r2							(значения r							на кривой						xy 2 ). Следо-
r2		2		cos sin			(значения r							на кривой						xy 2 ). Следо-
вательно					r2
			2		r2						1	2					r24 r14 d
Ix d					r3 sin2 dr						1		sin2
Ix d					r3 sin2 dr								sin2
			1		r1					4			1
			1		r1								1
					3		2	d				3			arctg2				9
							2								arctg2
														tg
																					,
									2									1			,
					4			cos				4			arctg			1	8
							1										2
					2	r2		r3 cos2 dr								3			arctg2				9
					2	r2													arctg2
				Iy d													ctg							.
				Iy d													ctg					1	8	.
					1	r1								4					arctg			1	8
					1	r1													arctg			2
																						2
									110

Источник: https://studfile.net/preview/16565425/

Смотрите также:




_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога