Материал: Задачи и упражнения для организации самостоятельной работы по дисциплинам «Математика», «Спецглавы математики». Катрахова А.А., Васильев Е.М

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

							y
						2
					=
	=	2	x	G	x
			x
y			2		xy=


					xy		2
					=
			1		1			x
			1				x
							x

R y

Рис. 21	Рис. 22
Пример 6. Найти координаты	центра масс части шара

x2 y2 z2 R2, расположенной в первом октанте, если плотность в каждой точке обратно пропорциональна расстоянию точки от начала координат.

Решение. Имеем x,y,z	k		k - коэффици-
		, где


	x2 y2 z2

ент пропорциональности, и, вследствие симметрии, xc yc zc .

Вычислим статический момент тела (рис. 22) относительно плоскости yOz . Вычисления будем проводить в сферической системе координат, тогда получаем

Myz x x, y,z dv		2			2			R							k		r2dr
			d			sin d rcos sin									k
			d			sin d rcos sin
T		0			0		0								r
T		0			0		0
2	2		R							R3				kR3
k	cos d sin2 d r2dr k 1									R3				kR3		.
k	cos d sin2 d r2dr k 1															.
0	0			0			4		3			12
0	0			0
Вычисляем массу тела
				2		2				R
m x, y,z dxdydz					d		sin d				k		r2dr
m x, y,z dxdydz					d		sin d						r2dr
T				0		0			0			r
T				0		0			0

111

				2 k		r2		R				1 1 k				R2				kR2			.
		cos


2			0	2				0		2				2					2
2			0	2						2				2					2

В итоге получаем координаты центра масс
	x y z				Myz					kR3					kR2						R	.
		c c	c			m				12				2					6
Пример 7. Найти площадь части сферы x2 y2 z2 1,																							распо-
ложенной между плоскостями							z				y		и	z y					(x 0,				y 0,

										3
z 0).										3
z 0).
		z
1														_2			_3
						G								2 2								y
						G								0								y
0																		D
0				1					y
1				1					y
1														1
x														x
		а)												x
		а)															б)

Рис. 23

Решение. Изображаем поверхность G , площадь которой требуется найти (рис. 23,а). Чтобы найти уравнение проекции линии

пересечения плоскости z

и сферы x2 y2 z2 1 под-

ставляем в уравнение сферы z

. Получаем, что проекцией

является

часть эллипса

1. Чтобы найти

уравнение

3 4

проекции

линии пересечения

плоскости z y

и сферы

112

x2 y2 z2 1 подставляем в уравнение сферы			z y. Получа-
	x2		y2
ем, что проекцией является часть эллипса				1. Изобра-
	1
		1 2

жаем проекцию D поверхности G на плоскость xOy

(рис. 23 ,б). Записываем уравнение верхней половины сферы

z	1 x2 y2		и вычисляем искомую площадь
	Q			z 2				z 2									dxdy						x rcos
				z 2				z 2									dxdy						x rcos
			1								dxdy												y rsin


		D				x		y					D 1 x2 y2
		D				x		y					D 1 x2 y2

		2	1	1			sin2					2
			1	1			3		rdr						sin							sin
							3
		d																							d


		0						1 r		2	0			4 cos					2		2 cos			2
			1	1 sin2						2									2					2
			1	1 sin2
								cos					cos					2
								cos					cos					2
					arcsin						arcsin											.
								2												12

																2		0
																2		0

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

Решить задачи№№ 8.75, 8.92, 8.93, 8.94, 8.98, 8.130, 8.137, 8.142, 8.147 [19].

Форма отчетности: устный опрос, контрольная работа.

ЗАНЯТИЕ № 30

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ТЕОРЕМА КОШИ И ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ

113

Литература: [22], с. 117-125; [27], с. 32-46; [28], с. 142-157; [34], c. 42-53.

Контрольные вопросы и задания

1.Дайте определение интеграла от функции комплексного переменного.

2.Как вычислить интеграл от функции комплексного переменного?

3.Сформулируйте теорему Коши для простого и сложного контура.

4.Как применяется интегральная формула Коши для вычисления интегралов по замкнутым контурам?

Примеры решения задач

Пример 1. Вычислить e	z	2	Rezdz, где C - отрезок прямой,


C

соединяющей точки z1 0 и z2 1 i .

Решение. Выделим действительную и мнимую часть подынте-

гральной функции

f z e

Rez. Для этого перепишем ее в

виде e

Rez ex2 y2 x. Отсюда следует, что u x, y xex2 y2

v x,0 0. Применим формулу f z dz

u x, y dx v x, y dy i v x, y dx u x, y dy. Получаем,

что вычисление f z dz сводится к вычислению двух криво-

линейных интегралов: ez 2 Rezdz xex2 y2 dx i xex2 y2 dy .

C C C

Уравнение отрезка прямой, проходящей через точки z1 0 и z2 1 i , будет y x , где 0 x 1, а значит dy dx. Поэтому

114

	z	2	1				2x2		1	2x2				1		2x2	1		1		2x2	1


e			Rezdz xe				dx i xe				dx				e			i		e
e			Rezdz xe				dx i xe				dx			4	e			i	4	e
C			0						0								0					0
																	0					0

				1	e2 1 i			1	e2 1			1	e2 1 1 i .
				4	e2 1 i			4	e2 1			4	e2 1 1 i .
Пример 2. Вычислить						zkdz ,			где C - окружность единичного
						C

радиуса с центром в точке z 0 (обход против часовой стрелки, k - целое число).

Решение. Так

как на окружности

то z ei (

0 2 ) и dz iei d . Тогда zkdz eik iei d

ei k 1 d i

cos k 1 isin k 1 d

sin k 1

cos k 1

k 1

2 i, k 1

При k 0 результат вычислений согласуется с теоремой Коши.

При k 1		функция f z	1	не определена и не дифференци-

			z
руема	в	точке z 0. Интеграл не равен нулю. При
k 2,	3, подынтегральная функция не определена в точке

z 0 и теорема Коши также не применима, но интеграл равен нулю.

Пример 3. Вычислить	zzdz, где C:	z	1.
Пример 3. Вычислить
C
Решение. Аналогично примеру 2
115

Источник: https://studfile.net/preview/16565425/

Смотрите также:




_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога