Материал: Задачи и упражнения для организации самостоятельной работы по дисциплинам «Математика», «Спецглавы математики». Катрахова А.А., Васильев Е.М

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

	2	2	2
	zzdz ei e i iei d ei d i ei		2
			0
			0
C	0	0
	e2 i	1 cos2 isin2 1 0.
		1 i

Пример 4. Вычислить интеграл zdz .

Решение. Так как подынтегральная функция является аналитической, то можно использовать формулу Ньютона-Лейбница:

1 i

1 i 2

zdz

dz , где C- окружность: а)

Пример 5. Вычислить

z 3

б)

Решение.

C - окружность радиуса 2, то подынтегральная

а)

Если

функция

является аналитической в каждой точке круга

z 3

(рис.

24,а).

Поэтому, в силу теоремы

Коши

dz 0.

z 3

y	y	\|
		z
		\|
		=
	\|	4
	z
	\|
	=
	2
z0=-3 0	x z0=-3 0	x

|z=| 3

z0=0

а) б) в)

116

Рис. 24

б) Если C - окружность радиуса 4, то точка z 3 (в ней

функция не определена) принадлежит кругу

4 (рис.

24,б).

Представим

подынтегральную

функцию

виде

f z

где

z z0

f z ez является аналитической в каждой точке круга

Применим

интегральную

формулу

Коши

(z0 3)

f z0

f z

ezdz

2 i

dz . Получим

2 iez

2 i

z z0

z 3

cosz

Пример 6. Вычислить

dz, где C:

cosz

Решение. Подынтегральная функция

является аналитиче-

ской в круге

3 всюду кроме точки z0

(рис. 2,в). Выде-

лим под знаком интеграла функцию f z cosz ,

являющуюся

аналитической

в круге

Воспользуемся

интегральной

формулой

Коши

для

производной

f n

f z

dz . При z0 0

и n 2 получим

2 i

z z

n 1

cosz

2 i

cosz

z 0

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

1) Вычислить интегралы:

117

а) zezdz ;

б) zcoszdz ;

в) 3z3 2z2 dz .

Вычислить интегралы:

а)

zImz2dz, где C :

Im z

1, Rez 1 ;

dz , где C :

1, Imz 0 ;

б)

в)

zRez2dz , где AB - отрезок прямой,

zA 0,

zB 1 2i.

3)Вычислить с помощью интегральной формулы Коши следующие интегралы:

sin

а)

dz; б)

; в)

dz ;

z i

z 1

2z 3

1 z

г)

dz ; д)

dz.

z 2i

z2 4

Форма отчетности:устный опрос, типовой расчет, коллоквиум.

ЗАНЯТИЕ № 31-35

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО В РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА.

ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ

Литература: [21] с. 125-132; [23], с. 46-70; [12], с. 160-172; [34], c. 55-66.

118

Контрольные вопросы и задания

1) Запишите ряд Тейлора для функции комплексного перемен-

ного f z , аналитической в круге	z z0	R. Как опреде-
ляются его коэффициенты?

2)Сформулировать теорему Тейлора. Каковы условия разложимости функции в ряд Тейлора?

3)Записать разложения в ряд Тейлора для основных элементарных функций: ez , sinz, cosz , Ln 1 z , 1 z a , arctgz

4) Дать определение ряда Лорана функции f z . Как опреде-

ляются его коэффициенты?

5)Сформулировать теорему Лорана. Каковы условия сходимости ряда Лорана? Какова его область сходимости?

6)Какие ряды называются правильной и главной частями ряда Лорана?

7)Какая точка называется особой точкой функции? В каком случае она называется изолированной особой точкой?

8)Какая особая точка называется:

	а) устранимой; б) полюсом; в) существенно особой?
9)	Как зависит вид ряда Лорана от характера особой точки?
10)	Как связаны полюсы функции	1	с нулями функции
		f z

f z ? Что такое кратность полюса?

Примеры решения задач

Пример 1. Разложить f z	1	в окрестности
Пример 1. Разложить f z	1 z2 z2 4	в окрестности
точки z 0 в ряд Тейлора.

119

Решение. Представим f z в виде суммы двух дробей:

f z

1 1

и воспользуемся

1 z2

5 1 z2

разложением в ряд

zn ,

сходящемся в круге

1 z

n 0

подставляя

вместо

z для

первой

дроби z2, а

для

второй -

Получим ряд Тейлора f z

z2n

n 0 5

n 1

z2n , который сходится в круге

n 1

5 n 0

f z

Пример

Разложить

ряд

Лорана

функцию

в областях:

а)

1; б)

2; в)

1 z z 2

f z

Решение.

Представим

виде

суммы

двух

дробей:

f z

1, то

zn ,

. Если

а если

1 z

z 2

1 z

n 0

z	1, то	1


		1 z

имеем разложение

1							1
									. Аналогично, при				z		2

	1							n
				n 1 z

z 1
z 1	z
	z
1				1						1 n zn
											n 1 , а если	z		2,
z 2						z				2		z		2,
z 2						z
		2	1						n 0
		2	1		2				n 0
					2

120

Источник: https://studfile.net/preview/16565425/

Смотрите также:




_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога