Материал: Задачи и упражнения для организации самостоятельной работы по дисциплинам «Математика», «Спецглавы математики». Катрахова А.А., Васильев Е.М

жит только отрицательные степени z .

Пример 3. Определить характер особой точки z0 0 для функ-

121

Лорана содержит бесконечно много членов. Поэтому для функ-

ции cos 1 точка z0 0 является существенно особой. z

в) Используя разложение в ряд Тейлора для функции e z в ок-

разложение функции в окрестности точки z0 0 не содержит

главной части, поэтому эта точка является устранимой особой точкой.

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

1)Используя разложение основных элементарных функций, разложить в ряд по степеням z и указать области сходимости полученных рядов:

где a и b - заданные комплексные числа.

Указание: использовать при доказательстве разложение

функции 1 в ряд (геометрическую прогрессию). b z

3)Разложить в ряд Лорана следующие функции в указанных областях:

122

Форма отчетности: устный опрос,типовой расчет, коллоквиум.

ЗАНЯТИЕ № 36-37

ВЫЧЕТЫ И ИХ ВЫЧИСЛЕНИЕ. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О ВЫЧЕТАХ. ПРИМЕНЕНИЕ ВЫЧЕТОВ К ВЫЧИСЛЕНИЮ ИНТЕГРАЛОВ

Литература:[21], с. 132-137; [23], с. 70-81; [12], с. 172-179; [34], c. 66-75.

Контрольные вопросы и задания

1) Что называется вычетом функции f z относительно осо-

бой точки?

2) Чему равен вычет в устранимой особой точке и почему?

123

3)Как вычисляется вычет в простом и кратном полюсах?

4)Как находится вычет в существенно особой точке?

5)Сформулируйте основную теорему о вычетах. Как применяется теория вычетов к вычислению интегралов по замкнутым контурам?

6)Сформулируйте лемму Жордана. Как применяются вычеты при вычислении несобственных интегралов?

Примеры решения задач Пример 1. Найт и вычеты функции в ее особых точках.

z

f z z 1 z 2 2

Решение. Функция имеет две особые точки: z1 1 - простой полюс и z2 2 - полюс кратности 2. В случае простого полюса