Когдаизмеряемыйпризнаксостоянияобъектаимеетприроду,позволяющуюнетолькоотождествитьсостояниясоднимизклассовэквивалентности, но и дающую возможность в каком-то отношении сравниватьразныеклассы,дляизмеренийможновыбратьболеесильнуюшкалу,чемноминальная. Если же не воспользоваться этим, то часть полезной информациибудетутеряна.Однакоусилениеизмерительнойшкалызависитоттого,какие именноотношениямеждуклассамисуществуютвдействительности.Этоиявилосьпричиной появленияизмерительныхшкалразнойсилы.Следующейпосилезаноминальнойшкалойявляетсяпорядковаяилиранговаяшкала,имеющая несколькоразновидностей
. -
Шкала простого порядка
Есликаксиомамтождества1–3добавитьаксиомы4–5упорядоченности,тополучитсяшкалапростого порядка.Аксиомы упорядоченности:
4.(
А>В) (
В<А)
5.((
А>В)
&(
В>С)) (
А>С)Шкала простого порядка получится, если обозначить классы символами иустановив между этими символами те же отношения порядка
. Примерами такойшкалы являются нумерация очередности, воинские звания, призовые места вконкурсе.
-
Шкала слабого порядка
Иногда оказывается, что не каждую пару классов можно упорядочить попредпочтению: некоторые пары считаются равными. В таком случае аксиомы4–5 видоизменяются.Аксиомы
упорядоченности:
-
(А≤В) xor(А≥В)
5.(
А≥
В)
&(
В≥
С)
А≥
СШкала, соответствующая этим аксиомам, называется шкалой слабого порядка
.Примером шкалы слабого порядка служит упорядочение по степени родства сконкретнымлицом(мать=отец>сын=дочь,дядя=тетя<брат=сестра).
-
Шкала частичного порядка
Шкалачастичногопорядкапоявляется,когдаимеютсяпарыклассов,несравнимые между собой, т.е. ни (
А≤
В), ни (
В≤
А) (это отличается от условияслабогопорядка,когдаодновременно(
А≥
В)и(
В≥
А),т.е.
А=В)
.Шкалычастичногопорядкачастовозникаютвсоциологическихисследованияхсубъективныхпредпочтений.Например,приизучениипокупательскогоспросасубъектчастоневсостоянииоценить,какойименноиздвухразнородныхтоваровему большенравится,например,рубашка иливыпечка,скутерилителевизор.Затрудняетсяреспонденттакже,например,упорядочитьпопредпочтениюлюбимыезанятия:занятиявбассейне,чтениедетективов,вкусный ужин или слушание джаза. Особенность порядковых шкал, в строгомсмысле, есть то, что отношение порядка ничего не говорит о дистанции междусравниваемыми классами. Порядковые экспериментальные данные, даже еслиони изображены цифрами, нельзя рассматривать как числа, над ними нельзявыполнять действия, которые приводят к получению разных результатов припреобразовании шкалы, не нарушающем порядка. Например, нельзя вычислятьвыборочноесреднеепорядковыхизмерений.
Темнеменее,дляпорядковыхданныхдопустимаоперация,позволяющаяустановить,предпочтительностьодногоиздвухнаблюдений
хiили
xj.ВведемфункциюХевисайда:0
, x 0
;H(x) 1
/2
,x 0
;
1, x 0.
(31)
Определим ранг i-го измерения следующим образом:
jNв
Ri
H(xi
xj), 1 Ri Nв
j1 (32)
Слабый порядок реализуется, если часть измерений в более сильной шкале по сравнению с порядковой шкалой совпадают, и такая группа называется связкой или связанными рангами. В таком случае все члены связки получают ранг средний для данной связки – мидранг. В других случаях, когда это удобно, ранги в связке присваиваются случайным образом или каждый член связки получает старший для них ранг. Ниже приведен пример различных способов присвоения рангов.
Пример. Пусть имеется Nв = 7 объектов, каждый из которых характеризуется свойством X. И пусть это свойство измерено в более сильной
шкале(табл.1).
Среднеепосильнойшкалеравно160,чтосоответствуетрангу6,однаковычисленныйсреднийрангсоставляет4,чтосоответствуетзначению140.Таблица1
Номер i
|
Величина X,
мм
|
Ранг
R
(Мидранг)
|
Ранг
R
(Максимальн ый
ранг)
|
Ранг
R
(Случайный ранг)
|
1
|
120
|
2
|
3
|
2
|
2
|
120
|
2
|
3
|
1
|
3
|
120
|
2
|
3
|
3
|
4
|
140
|
4
|
4
|
4
|
5
|
150
|
5
|
5
|
5
|
6
|
160
|
6
|
6
|
6
|
7
|
310
|
7
|
7
|
7
|
Среднее
|
160
|
4
|
4,43
|
4
|
Таким образом, при измерениях в порядковых (в строгом смысле) шкалахобработка данных должна основываться только на допустимых для этих шкалоперациях–вычисленииδ(
x,
y)и
Ri.Дляэтихвеличинможнонаходитьчастоты,модыиквантилиэмпирическихраспределений,коэффициентыранговыхкорреляций Спирменаи Кендалла.Следуетзаметить,чтодажевтехслучаях,когдасостояния,которыедопускаюттолькопорядковыесравнения,вэкспериментеизмеряютсячерезвеличины, связанные ними косвенно, но фиксируемые в числовых шкалах, этиизмерениявсеравноостаютсяизмерениями
впорядковойшкале.Нижеследуютпримеры,иллюстрирующие сказанное.Пример.Известно,чтозапоказательинтенсивностипатологическогопроцесса принимается скорость выпадения осадка при добавлении в пробирку скровьюцитратанатрия;скоростьосажденияизмеряетсявмиллиметрахвединицувремени.Идеятакогоизмеренияосновананатом,чтоувеличениеинтенсивностипатологическогопроцессаприводиткповышениюсодержанияглобулина, что увеличивает скорость выпадения осадка. Поэтому высота слояосадказаданныйинтервалвременимонотонносвязанасинтенсивностьюисследуемогопатологическогопроцесса.Функциональныйвидэтойсвязинеизвестенинелинеен:изменениеколичествацитратанатрияиливремениосаждения приводит к непропорциональным изменениям высоты осадка. Пустьтеперь известно, что для больного 1 лекарство A привело к уменьшению осадкас 75 мм до 60 мм, а для больного 2 лекарство B – с 65 мм до 55 мм. Отсюданельзязаключать,чтолекарствоAэффективнее,таккаконопривелокуменьшениюосадкана 15мм,алекарство B– толькона10мм.Пример.Рассматриваетсяиспытаниеумственныхспособностей,прикотором измеряется время, затрачиваемое испытуемым на решение тестовойзадачи. В таких экспериментах время хотя и измеряется в числовой шкале, нокакмера интеллектапринадлежитпорядковойшкале.Сутьсостоитвтом,чтопорядковыевстрогомсмыслешкалыопределяютсятолькодлязаданногонаборасравниваемыхобъектов,