Материал: Математическое моделирование в экологии

• установление значимости коэффициента b_i;

• проверка адекватности установленной формы связи и экспериментальных данных.

При установлении тесноты связи между Y и Х решается задача установления строгости соблюдения функциональной зависимости между изменениями Y и Х. Для оценки тесноты связи между случайными переменными величинами используются показатели:

а) в случае линейной формы связи

• коэффициент парной корреляции r_yx или r_xy, характеризующий строгость соблюдения пропорциональности, т.е. близость ис- следуемой формы связи с линейной;

• коэффициент частной корреляции ,характеризующий тесноту связи между изучаемыми переменными при условии, что влияние остальных факторов исключается;

• коэффициент множественной корреляции ,характеризующий суммарное влияние всех факторов на величину Y;

б) в случае нелинейной формы связи

• корреляционное отношение р, которое является характеристи- кой, насколько строго соблюдается функциональная связь между исследуемыми переменными. Этот показатель применим и для оценки тесноты связи в случае линейной формы связи. В этом случае он равен абсолютному значению коэффициента парной корреляции;

• множественное корреляционное отношение ,которое является характеристикой тесноты связи между Y и Х. Аппарат корреляционно-регрессионного анализа используется в двух направлениях:

1) для проведения статистического анализа результатов наблюдений пассивных экспериментов, в которых независимые переменные Х. не могут изменяться экспериментатором, т.е. не регулируются. В результате такого анализа решение вопроса о виде формы связи не является окончательным, т.е. можно принять в качестве математической модели процесса большое число уравнений регрессии, которые могут удовлетворять полученным экспериментальным данным;

2) совместно с методом наименьших квадратов для планирования статистических экспериментов и анализа их результатов. В этом случае планирование экспериментов осуществляется в соответствии с принятым видом уравнения связи Y и Х.

В соответствии с числом учитываемых независимых переменных Х_i и характером связи между Y и Х различают:

а) по количеству исследуемых переменных

• парный корреляционно-регрессионный анализ;

• множественный корреляционно-регрессионный анализ;

б) в зависимости от формы связи

• линейный корреляционно-регрессионный анализ;

• нелинейный корреляционно-регрессионный анализ.

Метод наименьших квадратов. Широкое распространение в практике математического моделирования получили уравнения регрессии вида:

у =f(х),

где х — величина, которая рассматривается как случайная независимая переменная;

у — случайная зависимая величина. При линейной форме связи эту зависимость можно выразить уравнением прямой:

Y=b₀ + b₁Х,

для построения, которого требуется проведение экспериментов в объеме n, в каждом из которых должна фиксироваться пара значений (х_i; у_i). Результаты эксперимента представляются либо в виде таблицы (табл. 5.1), либо в виде графиков (рис. 5.1).

Таблица 5.1

Представление результатов эксперимента

Рассматривая экспериментальные точки (х_i; у_i) в прямоугольной системе

Рис. 5.1. График результатов эксперимента

координат, мы видим, что в случае рис. 5.1. а) часть точек лежит на прямой Y = b₀ +b₁Х, часть ниже и выше ее. В этом случае для построения модели зависимости Y от Х можно использовать линейное уравнение регрессии. В случае рис. 5.1. б) — нелинейное уравнение, а в случае рис. 5.1. в) применение регрессионного анализа проблематично.

Рассмотрим случай а), здесь через совокупность точек проведена прямая

Y = b₀ +b₁Х которая показывает на существование зависимости между Х и Y и наша задача состоит в том, чтобы определить коэффициенты b₀ и b₁ определяющие положение прямой относительно всех и экспериментальных точек таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений между значениями у_i, полученными при эксперименте и значениями у при х_i, подставленное в предлагаемое (гипотетическое) уравнение, было минимальным. Для этого используется метод наименьших квадратов (MHK).

Пусть разность между экспериментальным у_i и гипотетическим значениями у равна при х_i δ = у_i - у, или δ = у_i - (b₀ +b₁Х). При изменении величин b₀ и b₁ меняется, и δ. Возьмем функцию

являющуюся функцией двух переменных b₀ и b₁. Наилучшая пря- мая, описывающая зависимость Y от Х для экспериментальных данных будет такая, где значение

Для нахождения минимума возьмём частные производные от S(b₀,b₁) и приравняем их к нулю.

Решая эту систему, называемую системой нормальных уравнении МНК, получим:

Коэффициент b₀ — есть постоянная уравнения, которая определяется при

х = 0, а b₁ — угол наклона прямой регрессии Y к оси 0Х

В качестве меры зависимости между случайными величинами используется коэффициент корреляции, определяемый по формуле

Коэффициент корреляции всегда находится в пределах — 1< r <+1. Если случайные величины Х и Y независимы, то r = 0; если связь между Х и У функциональная, то r = 1. В качестве меры адекватности регрессионной модели статистическим данным часто используют коэффициент детерминации

Где — расчетное значение (теоретическое по полученному уравнению

регрессии = b_o + b₁х, где знак «ˆ» над у обозначает, что уравнение по- лучено по МНК для величины Y от Х_i,

где — среднее значение у

—значения у в i-том опыте (i =1, 2, ..., n).

Чем больше значения R², тем выше степень адекватности уравнения регрессии опытным данным.

Для уравнения регрессии вида

у =bo+b₁х₁ +b₂х₂+…+b_iх_i+…+b_mх_m;

многих переменных х,, х, ..., х„, результаты i го опыта записываются в виде

у =b_ox_0i+b₁х_1i +b₂х_2i +…+b_mх_mi;

где x_0i= 1 при всех i =1,n,.

n — общее число опытов в эксперименте.

Для определения коэффициентов уравнения регрессии b₀, b₁, b₂, ..., ,b_m, может быть использован МНК, который минимизирует сумму квадратов регрессионных опытов

Если представить результаты эксперимента в матричной форме Y = ХВ,

где ; ; .

то можно записать S = (Y — XB)^T(Y — XB) (индекс «т» означает транспонирование).

Исходя из условий минимизации , откуда (X^TX)B = X^TY.

Следовательно, оценка МНК есть такая, при которой коэффи- циенты уравнения регрессии равны В = (X^TX)^-1Х^TУ (индекс "-1" означает обратную матрицу). Коэффициент детерминации (скорректированный) равен:

Оценка меры автокорреляции случайной величины, как правило, производится с помощью статистики Дарбина-Уот- сона

При значении D(δ), близком к двум, говорят, что автокорреляция отсутствует (что желательно).

Пример. В результате эксперимента зафиксированы пары значений (х_i,у_i), приведенных в табл. 5.2: Построить уравнение регрессии вида у = b₀+b₁х

Таблица 5.2