Материал: Математическое моделирование в экологии

где F(α,Y,t) представляет собой весьма общую нелинейную функцию. Уравнение, за редким исключением, не имеет аналитического решения и его следует решать численными методами.

Вследствие трудностей получения аналитических решений для детерминированной модели процесса

эксперименты должны быть поставлены так, чтобы измерялся вектор производных dy/dt а не сам вектор Y. Если наблюдаемой переменной является производная, то процедура оценивания вообще не затрагивает дифференциального уравнения; параметры и начальные условия можно оценить методами регрессионного анализа.

Другой способ (менее удовлетворительный) позволяет избежать операций с производными при оценивании. Он состоит в использовании численных значений производных, полученных по наблюдениям величины Y.

Вычисленные производные содержат два основных вида ошибок: вводимые при использовании численной схемы и случайные ошибки, связанные с наблюдениями.

Исследуем численную оценку. Численное дифференцирование детерминирова-нных переменных предусматривает вычисление dy/dt или высших производных при некотором произвольном значении независимой переменной t (напри-мер, t₀) по заданному ряду значений у в некотором интервале вблизи t₀. Детерминированная ошибка в производной становится меньше, если данные концентрируются около значения t₀, расположенного в середине интервала изменения t, чем когда значение t₀ попадает на тот или другой конец интервала. Вместо непрерывной производной можно использовать любой из интерполяционных многочленов (Лагранжа, Грама).

Большинство схем аппроксимации для производных можно записать в общей форме

)

где а_i— постоянные;

D — дифференциальный оператор;

k — порядок производной;

h — фиксированное приращение независимой переменной;

(m+1) — число используемых опорных точек.

Следовательно, дисперсию производной можно оценить с по- мощью формулы переноса ошибок, предполагая, что величины Y, стохастически не зависимы, (но это практически маловероятно)

Если принять дисперсии всех величин у_i, равными друг другу, то

Отсюда видно, что чем меньше интервал h и чем больше членов в формуле, тем больше ошибка в производной. Эта ошибка растет с увеличением порядка производной.

Пример. В табл. 12.4 представлены численные ошибки для не- скольких разностных формул, использованных для вычисления температурного градиента в стенке (dТ/dz)z₀ по измеренным значениям температуры, которая считалась детерминированной переменной.

Таблица 12.4

Численные ошибки использованных для вычисления данных

Степень много- члена	Аппроксимация dT/dz при z =2	Порядок остаточного члена	Численное значение (dT/dz)z₀= 0
1	(Т₁ — Т₀) / h	h	4,12
2	(-Т₂ + 4Т₁ — 3Т₀) / 2h	h²	4,71
3	(-2Т₃ - 9T₂ + 18Т₁ - 11T₀)/ 6h	h³	5,25
4	(-3T₄+ 16Т₃ - 36Т₂+ 48Т₁ - 25T₀)/12h	h⁴	3,47

Здесь аппроксимация градиента d/Т/dz и «порядок ошибки» маскируют значительно более важный источник ошибки при вычислении dT/dz, а именно случайную ошибку, порождаемую измерением.

Предположим, что все величины Т_i в табл. 12.4 обладают одинаковым стандартным отклонением 0,01 (1% от Т₀) или дисперсией в 10^-4. Тогда для многочлена четвертого порядка

при измерениях: T_o =-1,000; Т₁=-0,588; Т₂=-0,295; Т₃=-0,259; T₄=-0,305; h = 0,1. Тогда , что составляет около 16% от .

Оценивание методом наименьших квадратов. Если наблюдения Y для откликов модели представляют собой непрерывные функции времени в интервале от t = 0 до t = t_iто МНК требует минимизировать величину

где Г — ковариационная матрица;

Ф — проинтегрированное по времени значение квадрата ошибки. Если наблюдения производились в дискретные моменты времени t_i, i= 1, 2, ..., n, то, согласно критерию Маркова, следует минимизировать величину

Если матрица Г является диагональной, то Ф соответствует критерию «взвешенных наименьших квадратов». Если же Г = получается критерий «обыкновенных наименьших квадратов».

Величина ψ в общей форме

ψ (α,у₀,t_i) = Y(t_i) - ε(t_i),

ε(t_i) = Y(t_i) - ψ (t_i).

т.е.

Для минимизации дифференцируем функцию Ф по у₀ и α.

Приравниваем ее нулю

Подобную систему уравнений можно получить и для непрерывных данных, заменяя суммы по дисперсионным значениям на интегралы по времени. Для получения оценки точности и необходимо сделать некоторое предположение относительно распределения ненаблюдаемых ошибок, например, постулировать нормальное совместное распределение.

Чтобы получить оценки точности , решение модели необходимо приближенно представить в виде линейной функции параметров, разлагая это решение в ряд относительно оценок этих параметров линеаризацией.

Пример. Пусть имеем модель

Тогда

Дифференцируя

по у₀ а затем по α и заменяя в получившихся выражениях у₀ и α на их оценки получим:

Используя функцию Ф следует учитывать:

1) ненаблюдаемая ошибка добавляется к детерминированному отклику специальным образом;

2) в оценках используются одновременно все n откликов;

3) в критерии не входит никакая априорная статистическая информация, за исключением, быть может, той, которая вводится с помощью матрицы Г.

Источник: https://files.student-it.ru/previewfile/278848

Смотрите также:




Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27