Материал: Математическое моделирование в экологии
СОДЕРЖАНИЕ
Математическое моделирование элементов сложных экологических систем
Лекция 1. Введение в моделирование. Исторический экскурс.
1. Основы моделирования в экологии 1.1. Общие принципы построения моделей в экологии
2.2. Этапы построения математической модели
1.4. Элементы теории подобия, применяемые в моделировании
3.2.2. Выборочный метод в экологометрике.
Зависимость числа интервалов от объема выборки
Статистический ряд по интервалам
Лекция 4. Статистические оценки параметров распределения случайных величин по выборкам
4.4. Статистические оценки гипотез об экологических моделях
Выборка из генеральной совокупности
Статистическая таблица эксперимента
Пример преобразования членов уравнения регрессии
Вычисление данных для линеаризации уравнения регрессии
Нормальные уравнения мнк для некоторых функций
Статистическое оценивание уравнения регрессии и парной корреляции.
Обработка результатов наблюдений
Рекомендации по выбору вида функции
3.4. Динамические статистические модели
Данные по объему сброса качественных сточных вод
Данные по объему сброса сточных вод за 5-летие
Пример расчета 5-летних средних
Расчетные значения для определения уравнения динамики
Ряд динамики для определения сезонных колебаний
Эксперименталъный материал исследования
8.1. Анализ влияния отдельных факторов в экологической модели.
Лекция 9. Методы оптимизации. Метод Лагранжа
Лекция 10. Метод линейного программирования.
Лекция 11. Функциональные модели.
Лекция 12. Модели процессов содержащие обыкновенные дифференциальные уравнения.
Численные ошибки использованных для вычисления данных
Лекция 13. Статистические модели динамики.
Лекция 16. Информационные технологии в экологии. Экологические информационные системы.
1 6.1. Экологические информационные системы
1. Какова область значения для числовых характеристик?
Лекция 17. Использование информационных технологий для решения задач экологии.
Критические значения коэффициента корреляции rk;α
2.1. Подобие физических явлений и его признаки
2.4. Применение методов подобия в математическом
11.3. Численные методы решения дифференциальных уравнений
11.3.2. Процесс численного решения
11.3.4. Модифицированный метод Эйлера
11.3.6. Метод Рунге – Кутта для систем дифференциальных уравнений
11.3.7. Общая характеристика одношаговых методов
11.3.9. Методы прогноза и коррекции
11.3.10. Краткая характеристика методов прогноза и коррекции.
11.3.11. Выбор шага и погрешность решения.
11.4. Имитационное моделирование систем
11.4.1. Принципы имитационного моделирования
11.4.3. Динамическая модель исследуемого объекта
11.4.4. Построение имитационных моделей динамических систем
11.4.5. Преобразование передаточных функций звеньев в дифференциальные уравнения в форме Коши
11.4.6. Синтез имитационной модели на основе структурной схемы
11.5. Теоретические основы построения математических моделей систем
11.5.1. Компонентные и топологические уравнения
11.5.2. Компонентные и топологические уравнения механической системы
11.5.3. Компонентные и топологические уравнения электрической системы
11.5.4. Компонентные и топологические уравнения гидравлической системы
11.5.5. Компонентные и топологические уравнения тепловой системы
11.6.1. Сущность метода электроаналогий.
11.6.2. Электромеханические аналогии
11.6.3. Построение имитационных моделей методом электроаналогий
11.6.4. Плоское прямолинейное движение звеньев
11.6.5. Электрогидравлические аналогии
Таблица 7.2
Результаты проведенных опытов
|
№ п.п. |
Уровни факторов |
Значение |
Опытное среднее |
Значение
|
||||
|
x1 |
x2 |
y1 |
||||||
|
1 2 3 |
1,0 |
0,2 |
18,2 18,6 18,7 |
331,40 345,96 349,69 |
18,5 |
18,4 |
-0.2 0,2 0,3 |
0,04 0,04 0,09 |
|
4 5 6 |
2,0 |
0,4 |
21,6 23,4 23,7 |
466,56 547,56 561,69 |
22,9 |
22,8 |
-1,2 0,6 0,9 |
1,44 0,36 0,81 |
|
7 8 9 |
2,5 |
0,3 |
22,0 23,0 22,5 |
484,00 529,00 506,25 |
22,5 |
22,6 |
-0,6 0,4 -0,1 |
0,36 0,16 0,01 |
|
Сумма |
191,7 |
4122,11 |
- |
- |
- |
- |
- |
3,31 |
из
уравнения регрессииВычисляем FB — статистику
При уровне значимости α = 0,10 и числе степеней свободы
K1
=
n
-
1
=
9
-
1
=
8
и
k2
=
n
-
k
-
1
=
9
-
3
-
1
=5
(см.
приложение
6) находим
=
3,3393,
так
как
FB
=
7,34
≥
=
3,3393,
то
гипотеза
о
значимости
уравнения
регрессии
принимается.
Множественный корреляционный анализ. При множественном корреляционном анализе можно вычислить два типа парных коэффициентов регрессии:
1)
—
коэффициент,
определяющий
тесноту
связи
между
функцией
отклика
у
и одним
из
факторов
хi;
2)
—
коэффициент,
показывающий
на
связь
между
двумя
факторами хi и хm (i, m = 1,k ). Их величины вычисляются по формулам
где
Если ввести обозначения
то
Проверка значимости коэффициентов корреляции может производиться:
а)
сравнением
статистического
значения
с
табличным
,
значимость
коэффициента корреляции
устанавливается
исходя
из
условия
где 
выбирается
по
таблице
(см.
приложение
10)
при
уровне
значимости
α
и
числе
степеней
свободы
k
=
n
-
2;
б) сравнением статистики tα с табличным значением t-кри- терия при уровне значимости α и числе степеней свободы k = n - 2, значимость коэффициента корреляции устанавливается исходя из условия
где
величина
tв
выбирается
по
таблице
(см.
приложение
2),
а
среднеквадратич-ное отклонение
коэффициента
корреляции
определяется
по
формуле
.
Для парных коэффициентов корреляции может быть определен доверитель-ный интервал по формуле
где р — парный коэффициент корреляции генеральной совокупности.
Последовательно вычисляя значения всех парных коэффициентов, строим матрицу коэффициентов корреляции
С помощью матрицы Rk вычисляют частные коэффициенты корреляции, показывающие степень влияния одного из факторов хi на функцию отклика Y при условии, что остальные факторы имеют постоянные значения.
Частные коэффициенты определяются по формуле
где Dij — определитель матрицы Rk образованный вычеркиванием первой строки и j-того столбца для каждого определителя соответственно. Аналогично вычисляются и определители D11 и Djj. Значимость коэффициентов частной корреляции и доверитель- ный интервал вычисляются так же, как и для коэффициентов пар- ной корреляции, но число степеней свободы для критерия ta;k при- нимается равным k = (n - 2) - р -1, где (р-1) — порядок частного коэффициента парной корреляции.
Если необходимо изучить степень тесноты связи между функ- цией отклика Y и несколькими факторами x1, x2, ..., xр (р<k) используют коэффициент множественной корреляции RM, который всегда положителен и изменяется в пределах 0 < RM< 1. Чем ближе значение RM к единице, тем лучше качество предсказания полученной моделью процесса, по наблюдениям за которым получены статистические данные. Коэффициент множественной корреляции вычисляется по формуле
или
где D — определитель корреляционной матрицы.
Если RM возвести в квадрат, то величина R2M называется множественным коэффициентом детерминации и показывает, какая часть дисперсии функции отклика объясняется вариацией линейной комбинации выбранных факторов.
При (р<k), х1, х2, ...., хp значимость RM можно проверить: а) по t-критерию
б) по F-критерию
где k1=n - р - 1 и k2 = р.
Пример. Для предыдущего примера, использовавшего данные табл. 7.2, вычислить коэффициенты корреляции.
Р е ш е н и е. С целью облегчения вычислений результаты работы сведем в табл. 7.3.
Таблица 7.3. Результаты вычислений исследования
|
№ п.п. |
Уровни факторов |
y1 |
у2 |
x1уi |
x2уi |
x1x2 |
|||
|
x1 |
x1 |
||||||||
|
1 |
1,0 |
0,2 |
18,2 |
331,4 |
18,2 |
3,64 |
1,0 |
0,04 |
0,2 |
|
2 |
1,0 |
0,2 |
18,6 |
345,9 |
18,6 |
3,72 |
1,0 |
0,04 |
0,2 |
|
3 |
1,0 |
0,2 |
18,7 |
349,7 |
18,7, |
3,74 |
1,0 |
0,04 |
0,2 |
|
4 |
2,0 |
0,4 |
21,6 |
466,6 |
43,2 |
8,64 |
4,0 |
0,16 |
0,8 |
|
5 |
2,0 |
0,4 |
23,4 |
547,7 |
46,8 |
9,36 |
4,0 |
0,16 |
0,8 |
|
6 |
2,0 |
0,4 |
23,7 |
561,7 |
47,4 |
9,48 |
4,0 |
0,16 |
0,8 |
|
7 |
2,5 |
0,3 |
22,0 |
484,0 |
55,0 |
6,60 |
6,25 |
0,09 |
0,75 |
|
8 |
2,5 |
0,3 |
23,0 |
529,0 |
57,5 |
6,90 |
6,25 |
0,09 |
0,75 |
|
9 |
2,5 |
0,3 |
22,5 |
506,2 |
56,2 |
6,75 |
6,25 |
0,09 |
0,75 |
|
Σ |
16,5 |
2,7 |
191,7 |
4122 |
361,6 |
58,8 |
33,75 |
0,87 |
5,25 |