Материал: Математическое моделирование в экологии

F_min = — 7.

Базисное решение: х₁ = 2,5; х₂ = 0; х₃ = 0;

x₄=0; х₅ = 6,5; х₆ = 5,5.

Проверка: F_min= -3х₁ + х₂ + 3х₃ = -3 х 5/2 = -7,5.

назад

Лекция 11. Функциональные модели.

Функциональная зависимость может выражаться в виде алгебраических равенств или дифференциальных уравнений. Рассмотрим наиболее типичные функции, моделирующие те или иные экологические процессы.

Функции роста чаще всего обозначают некоторую аналитическую зависимость между ростом параметра, например массы вещества, и факторами, обусловливающими этот рост. Так, если рас- сматривать прирост сухого вещества растения W в зависимости от прироста субстрата S за период времени dt, то получим уравнение роста

Далее темп роста (при условии, что система не получает из внешней среды и не теряет никакого материала) можно предста- вить в виде функции

.

Если принять допущения, что количество энергии роста пропорционально сухой массе W; механизм роста имеет максимальный темп на протяжении всего времени, пока существует питательная среда; процесс роста необратим и прекращается, как только истощается питательная среда, то

где μ — удельный (относительный) темп роста.

Параметр μ , зависит от вида сухой массы W соответствую- щей ресурсу питательной среды, и от скорости, с которой работает механизм роста. Интегрируя выражение (5.9), получим:

W= W₀е^?t, при 0 < t< t_f,

W=W_f, при t>t_f.

Когда W = W_f, S = 0, то W_f = W₀ + S₀ и рост внезапно прекращается, тогда

(здесь приводится результат подстановки W_f = W₀ + S₀ и t = t_f ).

Простой экспоненциальный рост, ограниченный реальным ресурсом питательной среды, графически представлен на рис. 11.2.

Если предположить, что механизм роста работает со скоростью, пропорциональной ресурсу питательной среды S, то можно записать:

,

где k — некоторая постоянная величина.

Тогда при S= W_f — W, получим:

Интегрируя

получим

. (11.10)(5.10)

При W₀ = 0

W = W_f(1 — е^-kt).

Зависимость 11.10(5.10) графически представлена на рис. 11.3. Она представляет собой мономолекулярный рост: уравнение описывает ход простой необратимой химической реакции первого порядка.

Далее можно показать, что уравнения роста могут быть:

• логистические

'

• Гомперца

,

где D — дополнительный параметр, характеризующий уменьшение μ;

• Ф. Ричардса

где n — параметр, n ≥ - 1;

• Л. Чантера

где В и D — постоянные величины.

Д. Хаксли впервые была описана аллометрическая зависимость для описания роста животных и частей их организма, а затем В. Перселлом эта зависимость была использована для описания роста растений.

Предположим, что P и Q — некоторые свойства организма (на- блюдаемые количественные характеристики): например P и Q, мо- гут быть массами различных частей животного или Р может зада- вать сухую массу растения, а Q — площадь поверхности его листь- ев. Поскольку организм растет и развивается, то P и Q будут изменяться с течением времени, т.е.

Р≡ P(t); Q ≡ Q(t).

Считается, что Р и Q аллометрически зависимы, если они удов- летворяют аллометрическому уравнению

р =аQ^b (11.10)(5.11)

где а и b — постоянные коэффициенты.

P и Q изменяются во времени таким образом, что уравнение (11.10)(5.11) сохраняет справедливость во всем интервале наблюдений.

При и можнозаписать

Q= сР^d.

Логарифмируя (5.11), получим:

ln P = lnа + blnQ

и, дифференцируя по времени

Таким образом, пропорциональные темпы роста зависят от постоянного фактора b. Аллометрическое уравнение нашло применение во многих задачах. Так, в форме

W₁=

оно описывает отношение сухой массы корней к сухой массе побегов в растущем растении. Многие модели роста могут быть представлены в форме

где W — масса;

t - время;

Р — множество параметров или постоянных коэффициентов, характеризующих организм;

Е_m — параметры или переменные, характеризующие те условия окружающей среды, которые поддаются управлению;

Е_W — показатели погоды.

Во многих случаях в экологии могут быть использованы модели «хищник — жертва». Впервые эти вопросы были затронуты в работах А. Лотки и В. Вольтера.

Пусть для данной естественной среды у обозначает число жертв, а х — число хищников. Согласно Вольтеру, имеет место:

(11.12)(5.12)

где μ, k, k^’, t — параметры;

у_m — число жертв (1/сут.).

Уравнения (5.12) могут дать решения:

1) для автономного роста хищников

2) при ограниченном потреблении жертв хищниками

3) для определения времени, необходимого для эволюционных явлений при росте популяций величина у рассматривается как функция от времени t, тогда

если между яйцекладкой и формированием взрослой особи проходит время τ, то

При оценке эпидемий с инкубационным временем τ модель может иметь следующий вид. Пусть Y_m есть общая популяция, а Y — зараженная популяция, так что (Y_m - Y) — подверженная заболеванию популяция. Учитывая запаздывание, вызванное наличием инкубационного периода, текущая вероятность заражения зависит от размера инфицированной популяции в момент (t - τ), что можно записать в виде:

(11.13)(5.13)

где μ — вероятность заражения организма в единицу времени;

с — темп естественного выздоровления. Уравнение (5.13) можно записать в виде

Функциональные модели наиболее распространены при описании процессов преобразования одного параметра в другой, при анализе расходов (доходов), структурном анализе и во многих других случаях.

Моделирование процессов выживаемости популяций. Математическое моделирование является одним из наиболее распространен- ных методов изучения окружающей природной среды, который по- зволяет при минимальных затратах получить достоверную инфор- мацию об изучаемых объектах.

При помощи моделирования реальные процессы, происходящие в окружающем мире, можно описывать в виде формальных характеристик. Математическое моделирование позволяет классифицировать и систематизировать фактические материалы, прогнозировать развитие ситуации. Часто математическое моделирование является единственным способом решения определенных типов задач. Рассмотрим динамику выживания определенного поколения особей какой-либо популяции от рождения до полного исчезновения. Формализуем условия задачи.