Материал: Математическое моделирование в экологии

11.6.4. Плоское прямолинейное движение звеньев

Пример 6.3

В качестве первого примера возьмём диск радиуса r, катящийся по плоской поверхности под действием внешней силы T, приложенной к центру диска (рис. 6.20).

Рис. 6.20

Под действием силы T тело вращается по часовой стрелке со скоростью ω. Силами сопротивления здесь являются инерционная сила F_и и сила трения F_ТР. Составим уравнение равновесия указанных выше сил:

(6.7)

и уравнение действующих на тело моментов:

(6.8)

где .

Уравнения (6.7-6.8) служат основой для построения эквивалентной электрической схемы (рис. 6.21). Эта схема строится в два этапа. Вначале следует вычертить нижний контур, в котором напряжения и э.д.с. должны соответствовать уравнению равновесия сил (6.7). На втором этапе чертим верхний контур, отвечающий

уравнению равновесия моментов (6.8). Заметим, что в уравнении (6.8) момент трения M_TP определяется в виде произведения силы трения F_TP на радиус r . Чтобы выполнить операцию умножения, в электрическую схему введен трансформатор с коэффициентом трансформации r .

Рис. 6.21

Уравнения трансформатора включают соотношения для напряжений, токов и скоростей изменений токов:

Далее приступаем к построению сети связей физических величин. Для этого в уравнении (6.7) выносим вправо инерционную составляющую F_u (см. па-раф 6.2). Сеть связей состоит из шести ветвей (рис.6.22).

Рис.6.22

С помощью сети связей определяем передаточные функции элементарных звеньев (табл. 6.6).

Таблица 6.6

Передаточные функции элементарных звеньев

Дальнейший переход от сети связей к структурной схеме динамической системы осуществляется так же, как в предыдущем примере.

Пример 6.4

В качестве второго примера возьмём тот же диск радиуса r, катящийся по плоской поверхности под действием внешней силы T приложенной к верхней точке диска (рис.6.23). Под действием силы T, тело вращается по часовой стрелке со скоростью ω. Силами сопротивления здесь являются инерционная сила F_u и сила трения F_ТР. Составим уравнение равновесия указанных выше сил.

(6.9)

Рис. 6.23

Составим уравнение равновесия действующих на тело моментов. Моменты определяем относительно центра масс тела.

(6.10)

где ,.

Уравнения (6.9) и (6.10) служат основой для построения эквивалентной электрической схемы (рис. 6.24). Переменные M_TP и M_T, входящие в уравнение (6.10), определяются произведениями соответствующих сил F_TP и T на радиус r. Чтобы выполнить указанные операции умножения, в электрической схеме применены два трансформатора с коэффициентом передачи r.

Рис. 6.24

Записываем уравнения трансформаторов:

Чтобы построить сеть связей, воспользуемся уравнением (6.9).

Рис.6.25

В этом уравнении вынесем вправо инерционную составляющую F_u и полученную зависимость поместим в сеть связей (рис.6.25). Сеть связей состоит из 7 ветвей.

Каждой ветви построенной сети связей отвечает элементарное звено. Сводим передаточные функции элементарных звеньев в общую таблицу (табл.6.7). Дальнейший переход от сети связей к структурной схеме динамической системы осуществляется так же, как в примере 1.

Пример 6.5

В качестве следующего примера возьмём диск, подвешенный на нити, один конец которой закреплён на неподвижном основании, а к другому концу приложено некоторое внешнее воздействие Т₁, причём Т₁ > P/2 > Т₂ (рис. 6.26). Диск имеет радиус r. Внешняя сила T₁ создаёт вращающий момент М_Т1, под действием которого диск вращается по часовой стрелке с угловой скоростью ω. Инерционный момент M_и и момент М_Т2, создаваемый силой натяжения нити T₂, препятствуют вращению

диска и, следовательно, являются силами сопротивления.

Рис. 6.26

Таблица 6.7

Передаточные функции элементарных звеньев

Составим уравнение равновесия сил

(6.11)

и уравнение равновесия моментов

(6.12)

где ,

Уравнения (6.11) и (6.12) служат основой для построения эквивалентной электрической схемы (рис.6.27).

Рис. 6.27

Уравнения трансформаторов:

В качестве основы для построения сети связей (рис.6.28) использовано уравнение (6.11). Передаточные функции в табл. 6.8.

Рис. 6.28

Таблица 6.8

Передаточные функции элементарных звеньев

Пример 6.6

В качестве следующего примера рассмотрим механическое устройство, которое представляет собой жёсткий вал на 3 опорах, обладающих свойствами упругости и демпфирования (рис.6.29). Такое устройство может служить прототипом шпинделя металлорежущего станка, установленного на 3 подшипниках.

Рис. 6.29

В рассматриваемом примере вал длинной 2l под действием внешней силы P и сил реакций Т₁, Т₂, Т₃ в опорах совершает сложные колебания, которые можно представить как сумму поступательных движений вала параллельно самому себе и вращательных движений вала, совершаемых вокруг его центра масс. Внутренние силы Т₁, Т₂, Т₃ в опорах зависят от значений коэффициентов податливости g₁, g₂, g₃ и коэффициентов демпфирования h₁, h₂, h₃ опор.

Составим уравнение равновесия сил:

(6.13)

где

Составим уравнение равновесия моментов:

M_T1+ M_T2 - M_T3 - M_u = 0, (6.14)

где M_Т1 = T₁ × l; M_Т2 = T₂ × l/2; M_Т3 = T₃ × l.

На основании данных уравнений составляем эквивалентную электрическую схему (рис. 6.30).

Рис. 6.30

Электрическая схема содержит 5 контуров, 3 узла и 3 трансформатора. Уравнения Кирхгофа для контуров 1-5 совпадают с уравнениями равновесия сил и с уравнениями равновесия моментов (6.13-6.14). Записываем уравнения Кирхгофа для узлов 1, 2 и 3.

Записываем уравнения трансформаторов.

В данной математической модели соотношения для скоростей изменений токов, протекающих через обмотки трансформаторов, не используются. Поэтому в уравнениях трансформаторов этих соотношений нет.

Рис. 6.31

Рассматриваемое твердое тело имеет две степени свободы, так как оно может совершать прямолинейное и одновременно вращательное движения. Поэтому чтобы построить сеть связей динамической системы, необходимо в двух уравнениях Кирхгофа для контуров вынести вправо инерционные составляющие. Такими уравнениями являются уравнения (6.13) и (6.14). Используя дополнительно уравнения Кирхгофа для узлов 1–3, а также уравнения трансформаторов, строим сеть связей динамической системы (рис.6.31).

Таблица 6.9

Передаточные функции элементарных звеньев

Теперь можно построить структурную схему динамической системы. С этой целью каждую ветвь сети связей заменяем элементарным звеном. Передаточные функции элементарных звеньев приведены в табл. 6.9, а структурная схема на рис. 6.32.

Рис. 6.32

В соответствии со структурной схемой записываем уравнения связей и дифференциальные уравнения элементарных звеньев.

На рис.6.33 представлена программа моделирования рассмотренного механического объекта в математической среде MathCAD.

Вал на трех опорах

Рис. 6.33. Код программы моделирования в системе MathCAD

Рис. 6.33 а. График процесса при h1=h2=h3=10.

Результаты моделирования представлены в виде графиков линейных (рис. 6.34, а)

Рис.6.34

и угловых (рис. 6.34, б) скоростей движений объекта при отсутствии демпфирования. На рис. 6.34, в показано движение объекта, когда коэффициенты демпфирования не равны нулю.