Материал: Математическое моделирование в экологии

11.3.2. Процесс численного решения

Когда математическая модель уже построена, обычно появляется мысль о том, нельзя ли найти решение в явной форме. Однако такое решение обычно возможно только при радикальном упрощении задачи. Убедившись в невозможности построения явного решения, мы обращаемся к разработке численного метода для его нахождения. При выборе численного метода решения приходится учитывать свойства вычислительных средств и программного обеспечения, которые имеются в нашем распоряжении.

Наиболее важным фактором в численном решении задачи является то, что компьютеры имеют дело с конечным числом цифр и символов. Ошибка, обусловленная ограниченной длиной слов вычислительной машины, называется ошибкой округления. К счастью, большинство современных ЭВМ имеют эффективную арифметику двойной точности. На некоторых машинах арифметика двойной точности реализована с помощью программного обеспечения, что в несколько раз увеличивает время счета по сравнению с вариантом одинарной точности.

Другое обстоятельство, которое приводит к погрешности численного решения, связано с необходимостью замены непрерывных задач дискретными задачами. Например, при вычислении интеграла на ЭВМ используются значения подынтегральной функции только в конечном числе точек. Следовательно, даже если арифметические операции будут выполняться точно, без каких-либо округлений, все равно будет существовать ошибка, обусловленная дискретной аппроксимацией интеграла.

Ошибки такого типа называют ошибками дискретизации. Эти ошибки, за исключением тривиальных случаев, всегда возникают при численном решении дифференциальных уравнений и других непрерывных задач. В основе многих численных методов лежит идея итерационного процесса. В ходе такого процесса строится последовательность приближений к решению в надежде, что эти приближения сойдутся к решению. Однако на ЭВМ можно реализовать только конечное число таких приближений, поэтому мы вынуждены останавливать решение, не достигнув математической сходимости. Ошибку, вызванную таким конечным завершением итерационного процесса, называют ошибкой сходимости.

Другим важнейшим фактором, помимо точности, рассматриваемым при разработке методов решения математических моделей на ЭВМ, является эффективность. Под этим мы понимаем количество времени, которое необходимо затратить для решения данной задачи на ЭВМ.

Остановимся на методах решения задачи Коши [4], [9], [10]:

1) Одношаговые методы, в которых для нахождения следующей точки на кривой y = f (x) требуется информация лишь об одном предыдущем шаге. Одношаговыми являются:

- метод Эйлера;

- методы Рунге-Кутта.

2) Методы прогноза и коррекции (многошаговые), в которых для отыскания следующей точки кривой y = f (x) требуется информация более чем об одной из предыдущих точек. Чтобы получить достаточно точное численное значение, часто прибегают к итерации.

К числу таких методов относятся методы:

- Милна;

- Адамса-Башфорта;

- Хемминга и др.

11.3.3. Метод Эйлера

Это простейший метод решения задачи Коши, позволяющий интегрировать дифференциальные уравнения первого порядка. Его точность невелика, но в некоторых случаях, например, в системах управления электроприводов, он применяется достаточно часто. На основе этого метода легче понять алгоритмы других, более эффективных методов.

Рассмотрим снова дифференциальное уравнение в форме Коши

y’ = f (t, y), (3.9)

удовлетворяющее начальному условию

y(t₀) = y₀. (3.10)

Численное решение задачи состоит в построении таблицы приближенных значений y₁, y₂ , …., y_n решения уравнения (3.9) в точках t₁, t₂, ….,t_n. Точки t₁, t₂, ….,t_n - узлы сетки. Используем систему равноотстоящих узлов. Величина h - шаг сетки (шаг интегрирования).

Метод Эйлера основан на разложении y в ряд Тейлора в окрестности t₀:

Если h мало, то члены, содержащие h во второй или более высоких степенях, являются малыми более высоких порядков и ими можно пренебречь. Тогда

y'(t₀) находим из дифференциального уравнения (3.9), подставив в него начальное условие (3.10). Таким образом можно получить приближенное значение зависимой переменной при малом смещении h от начальной точки. Этот процесс можно продолжить, используя соотношение

и делая сколь угодно много шагов.

Геометрический смысл метода Эйлера заключается в аппроксимации решения на отрезке [t_n, t_{n +1}] отрезком касательной, проведенной к графику решения в точке t_n (рис. 3.3). Как видно из рис. 3.3, на каждом новом шаге приближенное решение переходит на другой член семейства решений. В результате накапливается ошибка дискретизации, которая линейно зависит от h , так как члены ряда Тейлора, содержащие h во второй и более высоких степенях, отбрасываются. Поэтому метод Эйлера имеет первый порядок точности.

Рис. 3.3 Геометрическая интерпретация метода Эйлера

Практическим следствием этого факта является ожидание того, что при уме-ньшении h приближенное решение будет все более точным и при стремлении h к нулю будет сходиться к точному решению с линейной скоростью по h ; т.е. мы ожидаем, что при уменьшении шага h вдвое ошибка уменьшится в 2 раза. Очень медленная сходимость при уменьшении h характерна для методов первого порядка и служит препятствием для их широкого использования.

Примеры

Определить решение дифференциальных уравнений методом Эйлера.

1) y' = xy .

Решение:

2)

Решение:

3) .

Решение:

11.3.4. Модифицированный метод Эйлера

Хотя тангенс угла наклона касательной к истинной кривой в исходной точке известен и равен 0 y¢(t ) , он изменяется в соответствии с изменением независимой переменной. Поэтому в точке t₀ + h наклон касательной уже не таков, каким он был в точке t₀. Следовательно, при сохранении начального наклона касательной на всем интервале h в результаты вычислений вносится погрешность. Точность метода Эйлера можно существенно повысить, используя,

например, среднее значение производной в начале и конце интервала.

Рис. 3.4. Геометрическая интерпретация модифицированного метода

В модифицированном методе Эйлера сначала вычисляется значение функции в следующей точке по простому методу Эйлера:

которое используется для вычисления приближенного значения производной в конце интервала f(t_n+1, ). Вычислив среднее между этим значением призводной и её значением в начале интервала, найдем более точное значениеy_n+1:

(3.11)

Графическая интерпретация модифицированного метода Эйлера представлена на рис. 3.4. Принцип, на котором основан модифицированный метод Эйлера, можно пояснить иначе. Для этого вернемся к разложению функции в ряд Тейлора.

Кажется очевидным, что, сохранив член с h² и отбросив члены более высоких порядков, можно повысить точность. Однако чтобы сохранить член с h² , надо знать вторую производную y’’(t₀) . Её можно аппроксимировать конечной разностью

Подставив это выражение в ряд Тейлора с отброшенными членами третьего порядка, найдем

что совпадает с ранее полученным выражением (3.11).

Этот метод является методом второго порядка, так как в нем используется член ряда Тейлора, содержащий h² . За повышение точности приходится расплачиваться дополнительными затратами машинного времени, необходимыми для вычисления .

Примеры:

Определить решение дифференциальных уравнений модифицированным методом Эйлера

1) y’ = xy.

Решение:

2)

Решение:

3)

Решение: