Материал: Математическое моделирование в экологии

Если конкурирующие гипотезы H₀ и H₁ полностью определяют распределение случайной величины х, например значение пара- метра Θ равным Θ(H₀) или Θ(H₁), соответственно такие гипотезы называются простыми.

Гипотезы называются сложными, если они не полностью определяют параметры распределения. Например, если согласно некото- рой гипотезе случайная величина распределена по нормальному за- кону со средней М(х) и неизвестной дисперсией D(x), то в этом случае будем иметь дело со сложной гипотезой. Гипотеза H₁ альтернативная H₀ тоже может быть сложной. Например, если по ги- потезе H₁ случайная величина распределена по нормальному закону с известной D(x) и средней М₁(х) > М₀(х) или М₁(х)≠М₀(х), то очевидно, что гипотеза H₁, не определяет полностью распределение, поэтому ее следует считать сложной.

Таким образом, если распределение имеет всего k параметров, часть которых неизвестна, то гипотеза также называется сложной.

Необходимо получить критерий, с помощью которого по наблюдаемому значению х можно сделать разумный выбор между нулевой и альтернативной гипотезами. Построение критерия начинается с выбора такого множества на действительной прямой (или в n-мерном пространстве), что если случайная величина примет значение из этого множества, то принимается нулевая гипотеза (H₁ отвергается). Такое множество называют множеством принятия гипотезы (W₀). Дополнительное множество к множеству W₀ называется множеством отклонения гипотезы H₀(W₀), или критическим множеством.

При проверке гипотезы H₀ против H₁ возможны два рода ошибок. Ошибки первого рода — это ошибка, когда принимается неверная гипотеза H₀. Вероятность ошибки первого рода принято обозначать α, она называется уровнем значимости критерия. Обычно α выбирают равным: 0,10; 0,05; 0,025 и 0,01.

Вероятность ошибки второго рода обозначают β. Вероятность дополнительного события, т.е. правильного отклонения гипотезы H₀ называется мощностью критерия. Следовательно, мощность критерия (W_кр) равна вероятности того, что наблюдение попадает в критическую область, если оно имеет альтернативное распределение, т.е. W_кр = 1 - β.

Процедура применения статистического критерия следующая.

1. Выдвигаются гипотезы H₀ и H₁ и задается уровень значимости α. На выбор уровня значимости может влиять отношение исследователя к гипотезе до проведения эксперимента. Если есть уверенность в истинности гипотезы, то необходимы убедительные свидетельства, чтобы отказаться от этой уверенности. В таких условиях нужны критерии высокого уровня и α выбирается очень малой, чтобы попадание в критическую область было крайне неправдоподобным, если верна гипотеза H₀.

2. Выбирается статистический критерий проверки H₀ при уровне значимости α с критерием связана статистика критерия Г=Г(х₁, х₂, ..., х_n), которая является выборочной функцией с известн- ным вероятностным распределением F(γ). Критическая область W находится как подмножество выборочного пространства х, такое, что вероятность

Р(Г W| H₀) ≥ α.

В зависимости от альтернативной гипотезы

а)H₁: Θ_b < Θ;

б)H₁: Θ_b > Θ;

в) H₁: Θ_b ≠ Θ,

критическая область выражается через значения статистики Г и принимает одну из форм:

а) Г≤ Г₀;

б) Г≥Г_и;

в) Г≤Г_а или Г≥Г_в,

где Г₀, Г_и, Г_а, Г_в - квантили известного распределения, выбранные так, что при выполнении H₀ справедливо одно из соотношений:

а) Р_r(Г ≤ Г₀) = α;

б) Р_r(Г≥ Г_и) = α;

в) Р_r(Г ≤Г_а) или Р_r(Г ≥ Г_в) = α /2.

Случаи а) и б) представляют односторонние критические области, а случай в) - двустороннюю критическую область; Р_r - вероятность принятия гипотезы.

С критической областью W для данного критерия при уровне значимости α однозначно связан доверительный интервал, которому соответствует вероятность

Р(Г W| Н₀) ≥1 — α..

3. Если вычисленная по выборке статистика Г имеет значение

Г = Г(х₁, х₂ , ..., х_n),

которое не принадлежит W то гипотеза Н₀ принимается, в противном случае она отвергается и принимается гипотеза Н₁. Возможен и другой подход. Пусть Г - вычисленное значение статистики по выборке. Вычислим вероятность Р_a попадания Г в критическую область. Эта вероятность называется фактически достигнутым уровнем значимости. Значение Р дает возможность при- нимать или отвергать гипотезу при любом заранее заданном уровне значимости а путем простого сравнения Р_a с α. Если Р_a меньше α, то гипотеза Н₀ отвергается с уровнем значимости α, в противном случае Н₀ принимается.

Лекция 4. (продолжение).

Проверка статистических гипотез о равенстве средних. При ис- следовании часто возникает вопрос о сравнении центров распределения двух или более случайных величин. Здесь важно выяснить, являются ли полученные статистические оценки математического ожидания по разным выборкам оценкой одного и того же математического ожидания для определенного закона распределения F(х).

При проверке гипотез о равенстве средних вначале необходимо проверить гипотезу о независимости одинаково нормально распре- деленных случайных величин в выборке (х₁, х_2, ..., х_n) при неизвес- тных параметрах М(х) и D(x). Выборку записывают в том же порядке, в каком записывались результаты наблюдений, например, (42, 63, 23, 47, 52, 98, 97, 73, 85, 88). По имеющейся выборке вычисляем D(x) двумя способами:

Определяют статистику q = d²/2S²

Гипотеза о независимости случайных величин Н₀ принимается если

q ≥ q_n(α),

где q(α) — табличное значение статистики q при объеме выборки n и уровне значимости α (см. табл. 2.7) принимаем α = 0,010 тогда q₁₀ = 0 3759.

При уровне значимости α = 0,01 гипотеза о независимости Н₀ принимается, это говорит о том, что наблюдения имеют систематический сдвиг математических ожиданий.

Если принять, α=0,05, то q₁₀(0,05) = 0,5311, тогда Q=0,468< q₁₀ (0,05) = 0,5311.

где n — объем выборки;

и_α - критерий, определяемый при заданном α, как F(u_α)=1-α, и определяется по таблице (см. приложение 1).

Гипотеза Н₀ о независимости случайных величин принимается при условии

q ≥ q_n²(α).

Проверка гипотез о равенстве средних в зависимости от условий проводится по разным критериям. Рассмотрим их.

Таблица 2. 7

Значения q-статистики

n	α	qn(α)
5	0,001 0,010 - 0,050	0,2080 0,2690 0,4102
10	0,001 0,010 0,050	0,2408 0,3759 0,5311
20	0,001 0,010 0,050	0,3926 0,5203 0,6498
30	0,001 0,010 0,050	0,4822 0,5975 0,7091
40	0,001 0,010 0,050	0,5425 0,6467 0,7461
50	0,001 0,010 0,050	0,5853 0,6814 0,7718
60	0,001 0,010 0,050	- - 0,7906

1. Проверка гипотезы о равенстве средних двух выборок, сделанных из нормально распределенной совокупности с известной величиной дисперсии D(х) и D(y), при n_x>30 и n_y>30 осуществляется сравнением статистики z_b равной

и критического значения z_α, определяемого как

где а — уровень значимости;

z_α — значение, определяемое по таблицам (см. приложение 1) при и= z_α.

Гипотеза Н₀ о равенстве средних принимается, если |z_b|<z_α. В противном случае, когда |z_b| > z_α гипотеза Н₀ отвергается и прини- мается гипотеза Н₁ о том, что средние нельзя считать равными т.е. выборки n_x и n_y сделаны из разных генеральных совокупностей.

Пример. При испытании двух типов фильтров для очистки воздуха в объемах n_x= n_y = 50 штук получено среднее значение чистоты воздуха х = 92%, у = 96%. Проверить, является ли рас- хождение значений х и у случайными, если известны D(x)= 0,09%; D(y) = 0,04%.

Решение. Выдвигаем гипотезу Н₀: М(х) = М(у). Определяем статистику

При уровне значимости, а = 0,05, находим:

По таблице (см. приложение 1) находим и =z_a и z_a = 1,96.

Сравниваем z_b = 8 >z_a = 1,96. Следовательно, гипотеза Н₀ отвергается, так как имеются качественные различия между двумя типами фильтров.

2. При малых объемах выборок: n_x < 30, n_y < 30, по которым найдены и и выборочные дисперсии S_x² и S_y² гипотезу Н₀: М(х) =М(у) проверяют вычислением статистики при альтерна- тивной гипотезе Н₁: М(х) w М(у).