Материал: Математическое моделирование в экологии

11.4.5. Преобразование передаточных функций звеньев в дифференциальные уравнения в форме Коши

1) Интегрирующее звено.

Из передаточной функции интегрирующего звена

следует искомое дифференциальное уравнение:

Эквивалентная структурная схема (рис.4.25) состоит из последовательно соединенных элементарных звеньев с передаточными функциями k_i и 1/p

Рис.4.25. Структурная схема

2) Апериодическое звено.

Передаточная функция звена:

откуда

или

Полученному дифференциальному уравнению соответствует эквивалентная структурная схема на рис.4.26.

Рис.4.26. Структурная схема

3) Колебательное звено.

Колебательное звено описывается дифференциальным уравнением второго порядка, которому равносильна система из двух уравнений первого порядка. Преобразовывая выражение для передаточной функции звена

получаем

Введем обозначение pY_{i +1} = Y_i в последнее уравнение. Получим:

Система дифференциальных уравнений в форме Коши для колебательного звена имеет вид:

Эквивалентная структурная схема этого звена изображена на рис.4.27.

Рис. 4.27. Структурная схема

4) Дифференцирующее звено с замедлением.

Запишем передаточную функцию звена в виде

Эквивалентная структурная схема (рис.4.28) включает элементарное усилительное звено с передаточной функцией k_i /T_i и рассматривавшееся выше апериодическое звено. Таким образом, для описания дифференцирующего звена с замедлением можно использовать уравнение для апериодического звена путем вычитания сигнала Y_i из сигнала .

Рис. 4.28. Структурная схема

5) Сложное звено.

В структурной схеме исследуемой динамической системы может встретиться сложное звено с передаточной функцией

Такое звено можно описать с помощью двух дифференциальных уравнений первого порядка. Чтобы их получить, выполним с передаточной функцией следующие преобразования:

Введя обозначение , перепишем последнее уравнение в виде:

Раскроем скобки.

Упростив, получаем дифференциальные уравнения первого порядка в форме Коши.

С целью сокращения записи представим эти уравнения в виде:

где .

На рис. 4.29 дана эквивалентная структурная схема рассмотренного звена.

Рис. 4.29. Структурная схема

Если степень полинома в числителе передаточной функции элемента равна степени полинома в её знаменателе, то необходимо на структурной схеме системы представить этот элемент как параллельное соединение двух эле-ментов в соответствии со следующими формулами:

где ;

где .

Если степень полинома в числителе передаточной функции элемента равна степени полинома в её знаменателе, причем знаменатель имеет действительные корни, то знаменатель можно разложить на сомножители. Тогда на структурной схеме системы можно представить этот элемент как параллельное соединение двух элементов в соответствии со следующей схемой:

Требуется найти неизвестные коэффициенты, обозначенные как x и y . Преобразуем последнее уравнение.

(4.4)

При p = 0 y = b₂. (4.5)

Решая уравнения (4.4) и (4.5) совместно, определяем другой неизвестный коэффициент x .

Рассмотрим второй пример.

откуда

(4.6)

При p = 0 x + y = b₂. (4.7)

Решаем уравнения (4.6) и (4.7) совместно. Получаем:

Если степень полинома в числителе передаточной функции элемента больше степени полинома в её знаменателе, то этот элемент следует объединить с одним или несколькими другими элементами структурной схемы с целью получения результирующей передаточной функции, у которой степень полинома в числителе не превышает степень полинома в знаменателе.

Рис. 4.30 Функциональная схема

11.4.6. Синтез имитационной модели на основе структурной схемы

Методику построения имитационной математической модели динамической системы рассмотрим на конкретном примере. Дана функциональная схема электромеханической следящей системы (рис.4.30). С помощью имитационного моделирования определить коэффициент усиления первого усилителя k₁ из условия обеспечения устойчивости системы. Исходя из условия задачи, построим структурную схему электрической следящей системы (рис.4.31).

Рис. 4.31. Структурная схема

Данной структурной схеме соответствует определённая система дифференциальных уравнений в форме Коши. Чтобы определить эти уравнения, необходимо выполнить следующее:

1) Выделить на структурной схеме системы элементы (звенья), передаточные функции которых содержат в знаменателях операторы p , и обозначить входные и выходные величины таких элементов соответственно через U_ВХ и Y. Входным величинам элементов присваивают индекс, на единицу больший индекса выходной величины предыдущего элемента. Младший индекс входной величины принимают равным единице.

2) Записать дифференциальные уравнения звеньев, выражающие связь между входными и выходными величинами:

где Y₁ = U₃ - напряжение на выходе второго усилителя; Y₂ = - скорость вращения вала двигателя; Y₃ = θ_d - угловое перемещение вала двигателя.

3) Записать уравнения связей, показывающие условия соединения элементов между собой в составе структурной схемы:

4) Подставив уравнения связей в дифференциальные уравнения звеньев, получить систему дифференциальных уравнений всей системы в форме Коши:

Для нахождения переходного процесса в исследуемой динамической системе, полученные уравнения следует проинтегрировать на ЭВМ при заданных начальных условиях.

В программе численного решения правые части дифференциальных уравнений можно вычислять в два этапа.

Сначала с помощью уравнений связей вычислить входные величины, U_ВХ1,..., U_ВХ2, а затем числовые значения этих величин подставить в дифференциальные уравнения звеньев.

назад

11.5. Теоретические основы построения математических моделей систем

11.5.1. Компонентные и топологические уравнения

Основные физические свойства технических объектов любой физической природы – инерционные, упругие и диссипативные. Они отображаются в динамических моделях соответственно инерционными, упругими и диссипативными элементами.

При моделировании методом функционально законченных элементов элементы обычно обладают несколькими физическими свойствами и являются сложными. При имитационном моделировании все элементы простые, так как каждый из них наделён только одним физическим свойством. Мы в данном описании рассматриваем только простые элементы. Состояние простого элемента характеризуется одной потоковой переменной и одной потенциальной переменной. Зависимость между этими переменными называют компонентным уравнением.

Компонентные уравнения элементов могут быть получены путем непосредственного использования физических законов и имеют следующий вид:

1) для инерционного элемента

(5.1)

2) для диссипативного элемента

(5.2)

3) для упругого элемента

(5.3)

В уравнениях (5.1)-(5.3) приняты следующие обозначения: И, Д, У – параметры инерционного, диссипативного и упругого элементов соответственно; I – потоковая переменная; U – потенциальная переменная. Индексы при переменных I и U указывают на принадлежность их соответствующим элементам.

Для получения полной математической модели технической системы необходимо объединить все компонентные уравнения элементов в общую систему уравнений. Объединение осуществляется на основе физических законов, выражающих условия равновесия и непрерывности физических переменных. Уравнения этих законов называют топологическими уравнениями. Они описывают характер взаимодействия между простыми элементами, устанавливая соотношения между однотипными переменными. Условия равновесия записываются для потенциальных переменных: