Материал: Математическое моделирование в экологии

где S² — выборочная дисперсия;

—гипотетическая дисперсия.

Гипотеза Н₀ принимается, если удовлетворяется условие

;

в противном случае принимается альтернативная гипотеза Н₁, где k — число степеней свободы, k = n — 1.

Критерий Пирсона и принимается по таблице (см. приложение 3).

Пример. Для проверки правильности высева семян взяты 20 участков. Отклонение от нормы высева оценивалось среднеквадратическим отклонением числа семян на участке, оно составило S =16 семян. Требуется при заданном уровне значимости а = 0,1 прове- рить нулевую гипотезу Н_о: D(x) =, при норме = 225. Конку- рирующая гипотеза Н₁: D(x) ≠.

Р е ш е н и е. Определяем — статистику

При = 0,10 и k = 20 — 1 =19 определяем по таблице (см. приложение 3)

Записываем условие

,

т.е. принимается гипотеза Н₁: D(x) = . Это означает, что сеялка настроена правильно в соответствии с заданной нормой и точностью высева.

Если исследуется нормально распределенные совокупности х₁, х₂, ..., х_p, из которых извлечены независимые выборки n₁, n₂, ..., n_p различных объемов, для которых определены дисперсии , , ..., ,то при заданном уровне значимости можно проверить гипотезу Н₀: D(x₁) = D(x₂) = ... = D(х_p) по критерию Бартлетта. Для этого определяют статистику

где

Величина является оценкой генеральной дисперсии D(x). Гипотеза Н₀ принимается при условии

;

где k — число степеней свободы, k = р - 1; величина принимается по таблице (см. приложение 3). Критерий Бартлетта очень чувствителен к отклонениям от нормального распределения выборочных совокупностей. Если выборки равны n₁, n₂, ..., n_p, то для проверки гипотезы Н₀: D(x₁) = D(x₂) = ... = D(x_p) используют критерий Кохрена (Кочрена). Для проверки гипотезы Н₀ вычисляют статистику

где — максимальная дисперсия из р дисперсий, т.е.

Полученное значение G_b сравнивают с критическим значением , k = n - 1; n — объем одной выборки. Гипотеза Н₀ принимается при условии

в противном случае принимается гипотеза Н₁: D(x₁) ≠ D(x₂) ≠ ... ≠ D(x_p). Значение принимается по таблице (см. приложение 7). Пример. На 17 предприятиях региона в течение семи месяцев изучалась загрязненность промышленных стоков. Вычисленные эмпирические дисперсии для каждого из этих месяцев оказались равными: 0,067; 0,136; 0,168; 0,068; 0,066; 0,102; 0,107. Необходимо проверить гипотезу Н₀ об отсутствии существенного различия в загрязненности промышленных стоков за семь месяцев. Решение. Вычисляем статистику

При уровне значимости = 0,05; р =7; k =17 — 1 =16; F_1-0,05;7;16= 0,27 (см. приложение 7). Тогда

G_b = 0,235 < F_1-0,05;7;16 = 0,27,

т.е. гипотеза H₀ об отсутствии существенного различия в загрязненности промышленных стоков в течение семи месяцев принимается. Проверка статистических гипотез об однородности выборок. Для проверки однородности независимых выборок (х₁, х₂,..., х_p) и (у₁, у₂, ..., у_n2) случайных величин х и у выдвигаем нулевую гипотезу H₀ о равенстве функций распределения H₀: F(x) = F(y), при уровне значимости и конкурирующей гипотезе Н₁: F(x) ≠ F(y). Если объем каждой из выборок не превосходит 25, проверку гипотезы H₀ проводят с помощью статистики W_b. Для определения W_b статистики располагают варианты обеих выборок в возрастающем порядке (табл. 2.8). Например, для выборок n_x: 3, 4, 6, 10, 13, 17 и n_y: 1, 2, 5, 7, 16, 20, 22 общий ряд будет иметь вид

Таблица 2.8

Определение вариантов выборок

Определяем сумму порядковых номеров варианта выборки n_x:

3+4+6+ 8+9+ 11=41.

Эта сумма принимается в качестве статистики W_b(x) = 41. Для проверки гипотезы H_о используется условие:

W_н.к < W_b(x) < W_в.к

где W_н.к и W_в.к — нижнее (н.к) и верхнее (в.к) критические значения критерия Вилкоксона (Уилкоксона). При заданном значении уровня значимости и объемах выборок n_x и n_y величина W_н.к. определяется по таблице (см. приложение 8). Для нашего примера при = 0,01, n_x = 6, n_y = 7, величина

W_н.к =

Если объем хотя бы одной из выборок превышает величину 25, значение W_н.к определяется по формуле

где z_кр определяется из условия по таблице (см. приложение 1).

x = z_кр

Верхнее критическое значение величины W_в.к во всех случаях определяется по формуле

W_в.к = (n_x + n_y +1)n_x - W_н.к.

Для нашего примера

W_в.к = (6 +7 +1)6 — 24 = 60.

Тогда условие принятия гипотезы Н₀: F(x) = F(y) и

W_н.к = 24 < W_b(x) < W_в.к = 60

соблюдается. Следовательно, можно считать, что выборки n_x и n_y принадлежат одной генеральной совокупности, т.е. выборки однородны. Проверка статистических гипотез о виде распределения случайных величин. При построении математической модели исследуемых процессов часто возникают задачи сопоставления полученного материала экспериментов с известными теоретическими распределениями. Если сопоставить вероятность попадания в интервалы, на которые разбита выборка, с соответствующими частотам и, полученными из наблюдений, или проводить графическое сравнение полигонов и гистограмм с некоторой теоретической функцией распределения, то можно получить представление о степени близости теоретического и эмпирического распределений. Наиболее широко для проверки статистических гипотез о сходимости теоретического и эмпирического распределения используется критерий Пирсона (— хи-квадрат). Рассмотрим его применение. Пусть вся область изменения случайной величины х разбита на конечное число k(i = 1, 2, ..., k) интервалов (в случае непрерывной величины) или групп (для дискретных величин). Например, в статистический ряд, полученный в результате эксперимента (табл. 2.9).

Таблица 2.9

Статистический ряд, полученный в результате эксперимента