Материал: Математическое моделирование в экологии

В данном случае k = n = 3, так что функция f (E,τ,ρ) = const. Критерий подобия

и

Эта формула показывает, что если измерить тем или иным способом радиус ударной волны в разные моменты времени, то в логарифмических координатах (5/2)lg(r), lg(τ) экспериментальные точки должны располагаться на прямой

имеющей наклон, равный единице. Более детальный анализ показывает, что эта const =1. В 1950 г. английский физик Джеффри Ингрем Тейлор обработал

кинофильм о распространении огненного шара, снятый во время американских испытаний ядерного взрыва в Нью-Мехико в 1945 г., и определил, что энергия взрыва равнялась примерно 10¹⁷Дж.

Публикация Тейлором этой величины вызвала в свое время смущение в американских официальных кругах. В различных уравнениях математической физики (задачах гидродинамики, переноса тепла, диффузии, химической кинетики) появляются своеобразные частные решения, которые при изменении времени преобразуются одно из другого по правилу подобия. Такие решения называются автомодельными. Наиболее важное свойство автомодельного решения состоит в том, что зависимость от аргументов входит через единственный комплекс. Благодаря этому уравнение в частных производных можно привести к обыкновенному дифференциальному уравнению. Его интегрирование существенно проще, чем нахождение решения начально-граничной задачи. В сложных нелинейных задачах получение автомодельного решения зачастую остается единственно возможным средством найти аналитическую зависимость и понять качественные особенности явления. Более подробные сведения об автомодельных решениях можно найти в литературе [2], [9].

назад

11.3. Численные методы решения дифференциальных уравнений

11.3.1. Постановка задачи

Дифференциальными называются уравнения, содержащие одну или несколько производных. Инженеру очень часто приходится сталкиваться с ними при разработке новых изделий или технологических процессов, так как большая часть законов физики формулируется именно в виде дифференциальных равнений. Любая задача проектирования, связанная с расчетом потоков энергии или движением тел, в конечном счете, сводится к решению дифференциальных уравнений. Лишь очень немногие из них удается решить без помощи вычислительных машин. Поэтому численные методы решения дифференциальных уравнений играют такую важную роль в практике инженерных расчетов и в моделировании.

Так при реализации цифровых систем управления инженеру-системотех-нику приходится решать дифференциальные уравнения в реальном масштабе времени, т.е. непосредственно в процессе управления объектом. Примером могут служить цифровые регуляторы в системах управления электроприводами металлорежущих станков и промышленных роботов, а также цифровые системы управления автомобильными и авиационными двигателями, летательными аппаратами, морскими судами и т.д.

Рис. 11.3.1. Решения дифференциального уравнения

Известные математические программы – MathCAD, Matlab, Mathematica и др. непригодны для решения таких задач. Эти программы занимают в ЭВМ много памяти и, кроме того, они не могут работать в реальном масштабе времени. Поэтому для построения компактных, работающих в реальном времени цифровых моделей и систем инженеру приходится самостоятельно разрабатывать алгоритмы и программы для решения дифференциальных уравнений тем или иным численным методом.

В зависимости от числа независимых переменных и, следовательно, типа входящих в них производных дифференциальные уравнения делятся на две различные категории:

обыкновенные, содержащие одну независимую переменную и производные по ней, и уравнения в частных производных, содержащие несколько независимых переменных и производные по ним, которые называют частными.

Рассмотрим методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Дифференциальное уравнение первого порядка можно записать в виде

y' = f(y,t).

Это уравнение имеет семейство решений y(t) . Например, если f(y,t) = y , то для произвольной константы С функция y(t) = Ce^t является решением (рис.3.1). Выбор начального значения, скажем y(0) , служит для выделения одной кривой из семейства кривых. Зачастую имеется более чем одна зависимая переменная, и тогда задача заключается в решении системы уравнений первого порядка, например,

Решение этой системы содержит две постоянные интегрирования, и, следовательно, нужны два начальных условия, чтобы определить эти константы.

Если значения y и z указаны при одном и том же значении независимой переменной t₀, то система будет иметь единственное решение. Задача определения y и z для будущих значений t > t₀ называется задачей с начальными условиями или задачей Коши. Если же условия задаются при двух или более значениях независимой переменной, то задача называется краевой. В задаче Коши дополнительные условия называют начальными, а в краевой задаче – граничными.

Любое обыкновенное дифференциальное уравнение порядка n, которое можно записать так, что его левая часть есть производная наивысшего порядка, а в правой части эта производная не встречается, может быть записана из n уравнений первого порядка путем введения n-1 новых переменных.

Например, уравнение

u'' = g(u,u' t)

можно записать как систему

где z'(t) = u''(t).

При обсуждении методов для задачи Коши удобно представлять

себе единственное уравнение

y '= f(y,t)

с начальным условием y(t₀ ) = y₀. Однако методы с равным успехом применимы и к системам уравнений. Часто в задаче Коши в роли независимой переменной выступает время.

Рис 3.2. К задаче о траектории

Пример 3.1

Примером может служить задача о траектории. Предположим, что снаряд выпускается с начальной скоростью V₀ под заданным углом наклона Q₀ к поверхности.

Как видно из рис. 3.2 функции x(t) и y(t) обозначают координаты x и у снаряда в момент времени t, а функции и определяют его скоростьV (t ) .

Расстояние x_k , на котором упадет снаряд, зависит от целого ряда факторов: массы снаряда, начальной скорости, гравитационных сил и т.д.

Математическая модель этой задачи выводится из второго закона Ньютона:

(3.1)

где m - масса снаряда; F - результирующая действующих на снаряд сил.

На снаряд действуют две силы:

1) cила сопротивления воздуха

(3.2)

где C - коэффициент сопротивления; ρ - плотность воздуха; S - поперечное сечение снаряда;

2) сила гравитации

F₂ = -mg, (3.3)

где g - ускорение свободного падения.

Чтобы записать уравнение (3.1) в переменных x и y , заметим, что сила сопротивления F₁ действует вдоль оси снаряда, а сила гравитации F₂ только в вертикальном направлении. Поэтому уравнение (3.1) можно записать покоординатно следующим образом:

(3.4)

Используя (3.2), (3.3) и меняя порядок членов, перепишем

уравнения (3.4) в виде:

(3.5)

Для численного решения необходимо преобразовать два уравнения второго порядка (3.5) в систему четырех уравнений первого порядка. Дифференцируя соотношение

(3.6)

Имеем

(3.7)

Подставляя теперь выражения (3.7) в уравнение (3.5) и разрешая последние относительно и , получаем

(3.8)

Уравнения (3.6) вместе с (3.8) составляют систему четырех нелинейных уравнений первого порядка относительно функций x, y,V, θ. Это связанная система нелинейных дифференциальных уравнений, явное решение которых невозможно и возникает необходимость в приближенном численном решении на ЭВМ. Решение системы (3.6), (3.8) должно удовлетворять четырем необходимым начальным условиям.

Считаем, что снаряд выпускается в момент времени t = 0, так что

(x₀) = 0,

(y₀) = 0.

Другие два начальных условия даются соотношениями

Следовательно, в данном случае рассматривается задача Коши. При заданных характеристиках снаряда и заданном V₀ имеется только один свободный параметр – угол стрельбы Q₀. Его изменение будет, очевидно, приводить к изменению траектории.