Материал: Математическое моделирование в экологии

11.6.5. Электрогидравлические аналогии

Требуется построить имитационную модель гидростатической опоры. Конструктивная схема незамкнутой гидростатической опоры представлена на рис. 6.35.

Рис. 6.35. Конструктивная схема гидростатической опоры

Гидростатические опоры используются в качестве гидростатических направляющих в тяжелых и средних металлорежущих станках. Их широкое применение обусловлено малыми силами трения при перемещении механизма, высоко нагрузочной способностью, надежностью и долговечностью, так как исключается контакт между подвижной и неподвижной частями опоры. Принцип действия незамкнутых гидростатических направляющих заключается в следующем. Масло от насоса под постоянным давлением P_H подается через дроссель с постоянным

сопротивлением R_δ в карман-камеру. Из кармана масло под давлением вытесняется через зазор δ , гидравлическое сопротивление которого

В состоянии покоя равнодействующая от давления масла в кармане и в зазоре уравновешивает внешнюю нагрузку F_H. При увеличении нагрузки зазор уменьшается на величину х. При этом расход масла через карман снижается и соответственно возрастает давление в кармане. Этот процесс продолжается до тех пор, пока равнодействующая от давления масла не уравновесит возросшую нагрузку при новой (уменьшенной) величине зазора в направляющих. При уменьшении нагрузки на направляющую зазор увеличивается, и давление в кармане уменьшается до тех пор, пока не наступит положение равновесия при возросшей величине зазора.

При оптимальных соотношениях параметров гидростатических направляющих изменение толщины масляного слоя при изменяющейся нагрузке оказывается достаточно малым, что позволяет применять эти направляющие в высокоточных станках. Расход масла через дроссель – Q₁. Через щель вытесняется количество масла Q₃. При постоянном давлении насоса и сопротивлении дросселя расход Q₁ постоянен, но при движении платформы вверх-вниз расход масла через щель изменяется. Это связано с изменением объема под платформой. При уменьшении

объема излишек масла вытесняется из-под платформы, а при его увеличении под платформой создается вакуум и масло «втягивается» в карман. Это приводит к появлению мнимого расхода масла Q₂, который, складываясь с расходом Q₁, дает расход масла на выходе Q₃. Наличие этого мнимого расхода обусловливает уникальное свойство гидравлических систем – демпфирование колебаний. Распределение давления в зазоре показано на рис. 6.36.

Рис. 6.36. Распределение давления в зазоре

В соответствии с эпюрой результирующая гидростатическая сила в зазоре равна:

где S_ЭФ - эффективная площадь.

Используя метод электроаналогии, перейдем от конструктивной схемы к эквивалентной электрической схеме, сохраняя при этом обозначения физических величин конструктивной схемы (рис.6.37).

Рис. 6.37. Эквивалентная электрическая схема

Запишем уравнения Кирхгофа для контуров 1 и 2, а также для узла 1:

Уравнения трансформатора:

На основе составленных уравнений строим сеть связей физических величин (рис. 6.38).

Рис. 6.38. Сеть связей

Таблица 6.10

Передаточные функции элементарных звеньев

Передаточные функции элементарных звеньев (табл.6.10). Заменяя в сети связи соединительные стрелки выражениями для передаточных функций, получаем структурную схему математической модели (рис. 6.37).

Рис. 6.39. Структурная схема

Запишем дифференциальные уравнения интегрирующих звеньев.

Далее формируем уравнения связи. С этой целью сначала определим давление в кармане P_K:

Откуда:

Расчёт исходных параметров модели.

Дано:

Примем для установившегося режима

Тогда

Результаты моделирования гидростатических направляющих представлены в виде графиков, которые показывают реакцию системы на внешнее усилие F_H= 3×10⁴H (рис. 6.40)

Рис. 6.40

11.6.6. Электротепловые аналогии

Требуется построить имитационную модель теплового процесса, который происходит при нагреве штампа для горячего прессования пластмасс.

Рис. 6.41. Конструктивная схема штампа

Конструкция штампа содержит встроенный электронагревательный элемент (рис. 6.41). Рассмотрим процесс передачи тепла через тело штампа (рис.6.42).

Рис. 6.42. Процесс передачи тепла

Тепловой поток от нагревателя Ф₁ проходит последовательно через цепь выделенных элементов. Поперечное сечение элементов заданно. Количество элементов в данном случае - 4. Проходя через теплопроводящую цепь элементов, тепловой поток преодолевает тепловое сопротивление этих элементов. Кроме того, часть теплового потока идет на потери тепла, связанные с теплоемкостью металла, из которого изготовлен штамп. Поэтому тепловой поток, проходящий через наружную поверхность Ф₂< Ф₁. Эквивалентная электрическая схема замещения представляет собой линию задержки, состоящую из последовательно включенных RC-цепочек (рис. 6.43). Активное сопротивление цепочки имитирует тепловое сопротивление, а электрическая емкость – теплоемкость элемента.

Рис. 6.43. Эквивалентная электрическая схема

Последнее сопротивление тепловой цепи R₅ переменное. Это обусловлено тем, что во время прессования тепловое сопротивление среды, соприкасающейся с поверхностью штампа, уменьшается. В результате поверхность штампа охлаждается. По окончании прессования штамп поднимается вверх и оказывается в воздушной среде. При этом благодаря низкой теплопроводности воздуха поверхность штампа разогревается.

Рис. 6.44. Структурная схема

Таким образом, температура поверхности штампа не остается постоянной. Она периодически изменяется от минимального значения до максимального значения. Чтобы построить структурную схему математической модели, надо определить тепловой поток Ф₁, проходящий через поперечное сечение элементов. Весь тепловой поток, излучаемый электрическим нагревателем, равен мощности этого нагревателя, а часть теплового потока, приходящаяся на поперечное сечение элемента, во столько раз меньше, во сколько раз поперечное сечение элемента меньше площади всей поверхности штампа.

Электрической схеме замещения соответствует структурная схема математической модели (рис. 6.44).

Непосредственно из структурной схемы следуют уравнения связи.

где

где, в свою очередь,

а T - полупериод рабочего цикла. Переходные процессы в интегрирующих звеньях определяются с помощью следующих дифференциальных уравнений.

Коэффициенты модели определим исходя из того, что материал штампа - железо. Для железа:

Примем ,,

Графики переходных процессов (рис. 6.45) показывают, что при заданном режиме работы температура поверхности штампа изменяется в пределах от 198^оС до 144^оС. Время нагрева штампа до заданной температуры составляет ок. 200 c .

Рис. 6.45

Рассмотренная методика синтеза имитационных моделей имеет как преимущества, так и недостатки. Преимущество этой методики в том, что синтез имитационной модели сопровождается построением структурной схемы динамической системы. Поскольку структурная схема содержит передаточные функции всех звеньев, то появляется возможность исследовать динамическую систему с привлечением методов теории управления. Однако такое моделирование оправдано лишь для сравнительно простых систем, содержащих небольшое количество звеньев. С повышением сложности системы количество передаточных функций и уравнений связи, которые рассчитываются вручную, возрастает, и работа становится громоздкой и трудоемкой. Чтобы облегчить синтез сложных моделей, применяют компьютерное моделирование, основанное на структурно - матричных представлениях метода электроаналогии, либо специальные программные средства моделирования, такие как Matlab, Mathcad, Anylogic и др.