Материал: Математическое моделирование в экологии

При вычислениях принимается во внимание, что в четырех квадратах от 0 до 2π косинусы и синусы четыре раза принимают одни и те же значения: 0; 0,5; 0,866 и 1, взятые со знаком минус или плюс.

Пример. Рассмотрим модель сезонности для данных, приведенных в табл. 6.10.

Таблица 6.10

Данные о периодически изменяющихся уровнях по месяцам

Месяц	t	у	Cos(t)	Sin(t)	yсоs(t)	ysin(t)	yt
1	0	39,8	1,000	0,000	39,80	0,00	44,17
2	π/6	62,2	0,866	0,500	53,86	31,10	93,70
3	π /3	125,5	0,500	0,866	62,95	109,03	152,13
4	π /2	256,2	0,000	1,000	0,00	256,20	205,81
5	2π/3	271,1	-0,500	0,866	138,05	239,10	234,88
6	5π/6	255,7	-0866	0500	-221,44	127,85	237,04
7	π	177,6	-1,000	0,000	-177,60	0,00	168,31
8	7π/6	144,0	- 0866	- 0,000	-124,70	122,00	160,16
9	4π/3	86,7	-0,500 t	-0,866	- 46,35	-75,08	129,87
10	3π/2	52,8	0,000	-1,000	0,000	52,80	88,49
11	5π/3	38,3	0,500	- 0,866	19,15	-33,17	18,97
12	11π/6	37,9	- 0,866	- 0,500	32,82	-18,95	16,82
Сумма	-	1553,2	-	-	- 496,56	461,28	1552,9

Р е ш е н и е. Вычисляем cos(t), sin(t), у∙cos(t), у∙sin(t) и определяем

Тогда уравнение. сезонной модели будет иметь вид

Индексом сезонности называется отношение средней из фактических уровней одноименных месяцев к средней из выровненных данных по тем же месяцам

Следовательно, величина i_сез различна для каждого месяца и зависит от способа выравнивания, которое может быть проведено либо применением 12-месячной скользящей средней, либо аналитическим выравниванием.

Показателем силы колеблемости динамического ряда из-за се- зонного характера процесса служит среднее квадратическое отклонение индексов сезонности (выражается в процентах) от 100 %

Сравнение средних квадратических отклонений, вычисленных за два периода, показывают сдвиги в сезонности. Если величина уменьшается, то сезонный характер исследуемого явления идет на убыль.

Изучение глубины сезонных колебаний возможно и путем определения отношений отклонения фактических уровней от выровненных к теоретическим отклонениям, принятым за «норму».

Некоторые способы измерения размаха сезонной волны основаны на изучении не абсолютных отклонений фактических данных от выровненных, а отклонений с учетом знака.

Лекция 7. Многофакторные эколого-математические модели. Анализ влияния отдельных факторов в экологической модели.

В практике часто возникают ситуации, когда функция отклика (цели) У зависит не от одного, а от многих факторов. Установление формы связи в этих случаях начинают, как правило, с рассмотрения линейной регрессии вида

В этом случае результаты наблюдений должны быть представлены

уравнениями, полученными в каждом из и опытов:

или в виде матрицы результатов наблюдений

где n — количество опытов; k — количество факторов.

Для решения систем уравнений необходимо, чтобы количество опытов было не менее (k+1), т.е. n > k+l.

Задачей множественного регрессионного анализа является пост- роение такого уравнения прямой в k-мерном пространстве, откло- нения результатов наблюдений х_ij от которой были бы минималь- ными. Используя для этого метод наименьших квадратов, получаем систему нормальных уравнений

В матричном виде

где В — вектор-столбец коэффициентов уравнения регрессии;

Х — матрица значений факторов; Y — вектор-столбец функций отклика; Х^T — транспонированная матрица Х Они соответственно равны:

при х_j0= 1, j =1,n;

Умножая правую и левую части уравнения на обратную матри- цу (Х^T∙Х)^-1, при (Х^T∙Х)^-1∙(Х^T∙Х)^-1= Е = 1 получим:

(Х^T∙Х)^-1(Х^T∙Х)В= (Х^T∙Х)^-1(Х^T∙Y).

Откуда В=(Х^T∙Х)^-1(Х^T∙Y). Каждый коэффициент уравнения регрессии вычисляется по формуле

где с_ij — элементы обратной матрицы (Х^T∙Х)^-1.

Пример. В результате проведенных исследований влияния мощ- ности гумусового слоя почвы (Х₁) и количества внесенного слож- ного состава минерального удобрения (Х₂) на урожайность зерно- вой культуры (Y) получены уравнения:

Установить форму связи урожайности е факторами х₁ и х₂ в виде линейного уравнения регрессии.

Р е ш е н и е. Представляем результаты опытов в виде матриц:

Определяем коэффициенты уравнения регрессии

Отсюда b₀ = 14, b₁ = 2, b₂ = 12 и уравнение регрессии имеет вид

=14+2х₁ +12х₂.

Для проверки значимости уравнения регрессии необходимо при заданных значениях (х₁,х₂) провести несколько экспериментов, чтобы для данного значения (х₁,х₂) получить некоторое среднее значение функции у. В этом случае экспериментальный материал представляется, например, в виде табл. 7.1.

Таблица 7.1

Эксперименталъный материал исследования

№ п.п.	Уровни факторов		Значение функции y при паралельных опытах			Опытное среднее значение
№ п.п.	x₁	x₂	y₁	y₂	y₃	y_i
1	1,0	0,2	18,2	18,6	18,7	18,5
2	2,0	0,4	21,6	23,4	23,7	22,9
3	2,5	0,3	22,0	23,0	22,5	22,5

Число параллельных опытов, как правило, должно быть k > 3. Проверка значимости уравнения регрессии проводится по F-крите- рию. Для этого вычисляем остаточную дисперсию

и затем вычисляем F_B — статистику

которую сравниваем с табличным значением при уровне значимости α и числе степеней свободы k₁ = n - 1; k₂ = n - k -1 (см. приложение 6, в, с). Гипотеза о значимости уравнения регрессии принимается при условии

F_B≥

Значимость коэффициентов регрессии проверяют по t-кри- терию. Статистику

сравнивают с при уровне значимости α и степени свободы k = n - k -1 (см. приложение 2).

Погрешность коэффициента регрессии определяется по фор- муле

где — диагональный элемент матрицы (Х^TХ)^-1. Доверительный интервал для коэффициентов регрессии определяем по формуле

где — значение коэффициента регрессии в генеральной совокупности.

Пример. По результатам опытов, приведённым в табл. 7.1 получено уравнение регрессии у =14+2х₁ +12х₂. Проверить значимость уравнения регрессии.

Р е ш е н и е. Данные представим в виде, удобном для вычислений (табл. 7.2).

Определяем остаточную дисперсию

И дисперсию для у

Источник: https://files.student-it.ru/previewfile/278848

Смотрите также:




Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27