Материал: Математическое моделирование в экологии

а условия непрерывности – для потоковых переменных:

Форма компонентных и топологических уравнений одинакова для систем различной физической природы. Топологическое уравнение для векторных переменных формулируется как равенство нулю геометрической суммы

соответствующих координат, а для скалярных – равенство нулю алгебраической суммы этих координат.

Полная математическая модель технического объекта, составленная на основе компонентных уравнений, представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений.

Искомыми функциями в этих уравнениях являются базисные переменные (координаты) I и U, а независимой переменной – время t. Размерность математической модели определяется общим порядком системы дифференциальных уравнений (или числом базисных переменных). Эту модель обычно представляют в нормальной форме Коши, в которой все уравнения разрешены относительно первых производных координат dI/dt и dU/dt. Координатный базис в этом случае составляют потоковые переменные I и потенциальные переменные U.

11.5.2. Компонентные и топологические уравнения механической системы

а) Базисные переменные.

Сосредоточенные массы, отображаемые на динамических моделях механических систем, в силу позиционных связей могут совершать только простейшие виды движений – поступательное и вращательное, либо сложное движение, которое представляется сочетанием этих простейших видов. Поступательное движение твердого тела характеризуется линейной скоростью u и силой F, а вращательное – угловой скоростью ω и вращающим моментом M.

Они и принимаются в качестве базисных переменных механической системы:

• потоковые переменные – скорость v(м/с) и ω(рад/с);

• потенциальные переменные – силы F (Н) и моменты M (Н×м).

б) Параметры элементов.

Параметром инерционного элемента при поступательном движении является масса m(кг), а при вращательном движении момент инерции J(кг×м²).

Параметр диссипативного элемента – коэффициент сопротивления µ, называемый также коэффициентом вязкого трения или коэффициентом демпфирования. При поступательном движении измеряется в Н×с/м, а при вращательном – в Н×м×с/рад.

Параметр упругого элемента – коэффициент жёсткости С. При поступательном движении в качестве единицы измерения коэффициента С используется размерность Н/м, а при вращательном – Н×м/рад.

в) Компонентное уравнение инерционного элемента получают на основе второго закона Ньютона. Для поступательного движения твердого тела уравнение имеет вид:

а для вращательного –

где и F_u , и M_u - соответственно сила инерции и момент сил инерции (или инерционный момент) элемента; v_u, и ω_u - скорости инерционного элемента.

Скорости v_u и ω_u представляют собой абсолютные скорости сосредоточенных масс соответственно при поступательном и вращательном движениях. Если твердое тело совершает сложное движение, то для каждого вида движения составляется свое компонентное уравнение инерционного элемента.

Математическое описание диссипативного элемента основано на использовании закона Стокса для вязкого трения. При поступательном движении компонентное уравнение имеет вид:

а при вращательном:

где F_д, M_д соответственно сила и момент вязкого трения; v_д, ω_д - скорости диссипативных элементов.

Согласно закону Гука, сила упругости деформируемого механического элемента пропорциональна величине деформации:

F_у = cΔ,

где Δ = x₁- x₂ - деформация элемента; x₁, x₂ – перемещения выделенных сосредоточенных масс; c - жесткость элемента.

Выражая перемещение x через базовые переменные v или ω, получаем следующие компонентные уравнения упругих элементов.

При поступательном движении:

При вращательном движении:

где F_у, M_у - соответственно сила и момент упругих элементов; g = 1/c - податливость элемента. Упругие и диссипативные элементы в динамической модели соединяют между собой сосредоточенные массы. В этой связи, скорости указанных элементов v_у, ω_у, v_д, ω_д представляют собой относительные скорости соединяемых ими сосредоточенных масс:

Силы F_и, F_д, F_у и моменты M_и, M_д, M_у инерционных, диссипативных и упругих элементов характеризуют их взаимодействия в динамической модели. Они представляют собой внутренние силы системы. При движении системы под действием приложенных к ней внешних сил и моментов происходит изменение её кинетической и потенциальной энергии, а часть энергии затрачивается на преодоление сил трения. Инерционные элементы динамической системы отображают свойство системы накапливать кинетическую энергию, упругие элементы – свойство накапливать потенциальную энергию, а диссипативные – рассеивать энергию путем превращения механической энергии в тепловую энергию.

г) Топологические уравнения.

Первое топологическое уравнение является уравнением равновесия, его выражает принцип Даламбера: геометрическая сумма всех сил приложенных к твердому телу, включая силу инерции, равна нулю:

(5.4)

Уравнение (5.4) соответствует поступательному движению твердого тела. При вращательном движении используется уравнение:

(5.5)

Второе топологическое уравнение определяет условие непрерывности потоковых переменных. Оно выражает принцип сложения скоростей при сложном движении твердого тела:

геометрическая сумма абсолютной, относительной и переносной скоростей равна нулю.

Поступательное движение:

вращательное движение:

Количество составляемых топологических уравнений вида (5.4), (5.5) равно числу степеней свободы моделируемой системы.

11.5.3. Компонентные и топологические уравнения электрической системы

В электрической системе потоковыми переменными являются токи I (А), а потенциальными переменными – напряжения или потенциалы U (В). Инерционными свойствами обладают катушки индуктивности. Компонентные уравнения инерционного элемента

где L – индуктивность (Гн).

Диссипативный элемент – резистор. Его компонентное уравнение получают на основе закона Ома:

U_д = R× i_д,

где R – сопротивление (Ом).

Упругими свойствами характеризуется конденсатор. Компонентное уравнение упругого элемента:

где С - ёмкость (Ф).

Особенностью электрической системы, отличающей её от рассмотренной ранее механической системы, является то, что соединение элементов в электрических схемах образует структуру, в которой легко различаются ветви и узлы. Причем ветви представляют собой двухполюсные элементы – резисторы, конденсаторы, катушки индуктивности, источники энергии и др.

В этом случае топологические уравнения получают на основе законов Кирхгофа:

(5.6)

(5.7)

Уравнение (5.6) выражает первый закон Кирхгофа. Оно записывается для узлов электрической схемы и формулируется так: алгебраическая сумма токов для любого узла электрической схемы равна нулю. Так как ток – потоковая переменная, то первый закон Кирхгофа описывает баланс потоков в узле.

Уравнение (5.7) выражает второй закон Кирхгофа. Оно составляется для замкнутых контуров электрической схемы.

11.5.4. Компонентные и топологические уравнения гидравлической системы

В гидравлической системе потоковыми переменными являются расходы Q (м³/с), а потенциальными переменными – давления p (Н/м² или Па).

Расход жидкости в трубопроводе Q выразим через скорость потока υ

где А – площадь поперечного сечения трубопровода. Введем обозначения: