Материал: Математическое моделирование в экологии

Можно получить выборочную функцию распределения плотности вероятностей f_n(х) в сере- дине интервалов х_i^* (см. ниже рис. 2.3)

f_n(х_i^*)= m_i /nh,

Рис. 3.3. Эмпирическая функция распределения нитратов в огурцах.

Например, для первого интервала

f_n(x_i^*) = = 0,046875

Тогда f'_n(х) для нашего примера будет иметь следующий вид:

⌠ 0,00000 при х < 0

│ 0,04687 при 0 < x₁ < 2

│ 0,06250 при 2 < х₂ < 4

│ 0,07823 при 4 < х₃ < 6 130

f_n(x) = { 0,09375 при 6 < х₄ < 8

│ 0,07812 при 8 < х₅ <10

│ 0,06250 при 10 < х₆ < 12

│ 0,04687 при 12 < х₇ <14

⌡ 0,03125 при 14 < х₈ <16

Если генеральная совокупность N обладает двумерным признаком Х и Y, где Х и Y представляют собой случайные зависимые величины, то статистический ряд может иметь вид, приведенный:

в табл. 2.4 (когда обе величины Х и Y непрерывны); табл. 2.5 (Х непрерывна, а Y дискретна); табл. 2.6 (обе Х и Y дискретны).

В табл. (2.4 - 2.6) частота наблюдений m_ij показывает, сколько встречается в опыте пар (х_i,у_j).

Таблица 3.4

Статистический ряд при непрерывных величинах Х и Y

Х Y		Границы интервала
		0,1<у1<2	0,2<у2<0,3	0,3<у3<0,4	0,4<у4<0,5
Грани- цы интер- вала	0 ≤ х1< 1,1	m11= 5	m12 = 4	m13= 3	m14= 1
	1,1≤х2< 2,2	m21= 1	m22= 7	m23= 6	m24= 4
	2,2 ≤x3<3,3	m31 = 0	m32 = 8	m33= 5	m34 = 2
	2,2 ≤x3<3,3	m41= 2	m42= 4	m43= 1	m44= 3

Таблица 3.5

Статистический ряд, когда Х непрерывна, а Y дискретна

Таблица 3.6

Статистический ряд, когда Х и Y дискретны

Если генеральная совокупность N обладает р-мерным признаком

(L = l, 2,...,1,..., р), где x₁, x₂, x₃, …, x_n, …, х_p — случайные величины, то статистический ряд будет состоять при выборке n из n векторов

(x₁₁, x₂₁, x₃₁, …, x_n1)

(x₁₂, x₂₂, x₃₂, …, x_n2)

…………………….

(x_1n, x_2n, x_3n, …, x_nm)

где х_ij — случайная величина х_j в i-ом испытании (наблюдении).

Результаты наблюдений могут быть также представлены в виде матрицы

X =

назад

Лекция 4. Статистические оценки параметров распределения случайных величин по выборкам

Основная задача выборочного метода заключается в том, что- бы на основе изучения выборочной совокупности получить та- кие выборочные характеристики, которые как можно более точно отражали бы характеристики генеральной совокупности. Пусть изучается некоторый признак Θ. По результатам выборки определяется оценка этого признака Θ_b. Как бы тщательно ни была организована выборка, будем иметь некоторую ошибку = | Θ_b — Θ|, которая будет отличаться от нуля. С этой точки зрения основная задача выборочного метода будет заключаться в том, чтобы величина была как можно меньше.

Чтобы выборочную оценку можно было считать, доброкачественной и пригодной для решения поставленных задач, она должна обладать определенными свойствами. Наилучшие оценки обладают такими свойствами, как несмещенность, состоятельность, эффективность и достаточность.

Выборочная оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание при любом объеме выборки равно значению пара- метра в генеральной совокупности, т.е.

М(Θ_b) — Θ = 0.

Если же имеется смещение, т.е.

М(Θ_b) — Θ = β,

то величина β отражает это смещение.

Пусть исследуется признак Х в генеральной совокупности, из которой сделана выборка х₁, х₂, ..., х_n. Средняя арифметическая выборочная

является оценкой генеральной средней M(x), так как

M(x)=M

Математическое ожидание выборочной средней равно средней генеральной совокупности: M(x) = (x).

Выборочная оценка Θ_b параметра Θ, полученная на основе n независимых наблюдений, называется состоятельной, если предел вероятности

P(Θ_b - Θ < ) =1.

Таким образом, разность |Θ_b – Θ| будет сколь угодно малой, а предел стремится к единице при увеличении объема выборки при >0. Свойство очевидно, так как чем ближе n к ∞, тем ближе оценка Θ_b к Θ. Отсюда следует, что состоятельность оценки возрастает с увеличением объема выборки.

Выборочная несмещенная оценка называется эффективной, если она имеет минимальную дисперсию по сравнению с другими возможными оценками. Так, например, имеются две выборочные оценки Θ_b1 и Θ_b2 с дисперсиями D(Θ_b1) > D(Θ_b2), тогда эффективной будет оценка Θ_b2. Достаточной называют выборочную оценку, если она включает всю информацию, которая содержится в выборке относительно определенного параметра. Если, например, по выборке (х₁, х₂, ..., х_n) производится оценка неизвестной вероятности Р, то вполне достаточно знать сумму варианта , т.е. общее число случаев, благоприятствующих данному событию. Отдельные же значения х_i уже не содержат никакой новой информации и ничего не поясняют относительно значений Р. Выборочные оценки могут быть точечными и интервальными.

Точечные оценки — это оценки некоторых неизвестных числовых параметров распределения случайных величин. Они представляют собой числа, полученные путем подстановки выборочных значений

х₁, х₂, ..., х_n, в формулу для оценивания искомого параметра. Точечные оценки параметров Θ _b не дают информации о степени близости к соответствующему теоретическому параметру генеральной совокупности Θ. Поэтому более информативный способ оценивания неизвестных параметров состоит в построении интервала, в котором оказывается оцениваемый параметр.

Интервальной оценкой параметра Θ называется интервал, гра- ницы которого Θ _b1 и Θ _b2 являются функциями выборочных значе- ний х₁,х₂,...,х_n, и который с заданной вероятностью накрывает оцениваемый параметр Θ

Р{ Θ _b1 < Θ < Θ _b2} = .

Величина называется доверительной вероятностью или надежностью, с которой оценка Θ заключается в интервал (Θ _b1 и Θ _b2), она записывается в виде = 1 - α, где α — уровень значимости, определяющий величину вероятности того, что оценка Θ выйдет за пределы интервала Θ _b1 и Θ _b2.