Материал: Математическое моделирование в экологии
СОДЕРЖАНИЕ
Математическое моделирование элементов сложных экологических систем
Лекция 1. Введение в моделирование. Исторический экскурс.
1. Основы моделирования в экологии 1.1. Общие принципы построения моделей в экологии
2.2. Этапы построения математической модели
1.4. Элементы теории подобия, применяемые в моделировании
3.2.2. Выборочный метод в экологометрике.
Зависимость числа интервалов от объема выборки
Статистический ряд по интервалам
Лекция 4. Статистические оценки параметров распределения случайных величин по выборкам
4.4. Статистические оценки гипотез об экологических моделях
Выборка из генеральной совокупности
Статистическая таблица эксперимента
Пример преобразования членов уравнения регрессии
Вычисление данных для линеаризации уравнения регрессии
Нормальные уравнения мнк для некоторых функций
Статистическое оценивание уравнения регрессии и парной корреляции.
Обработка результатов наблюдений
Рекомендации по выбору вида функции
3.4. Динамические статистические модели
Данные по объему сброса качественных сточных вод
Данные по объему сброса сточных вод за 5-летие
Пример расчета 5-летних средних
Расчетные значения для определения уравнения динамики
Ряд динамики для определения сезонных колебаний
Эксперименталъный материал исследования
8.1. Анализ влияния отдельных факторов в экологической модели.
Лекция 9. Методы оптимизации. Метод Лагранжа
Лекция 10. Метод линейного программирования.
Лекция 11. Функциональные модели.
Лекция 12. Модели процессов содержащие обыкновенные дифференциальные уравнения.
Численные ошибки использованных для вычисления данных
Лекция 13. Статистические модели динамики.
Лекция 16. Информационные технологии в экологии. Экологические информационные системы.
1 6.1. Экологические информационные системы
1. Какова область значения для числовых характеристик?
Лекция 17. Использование информационных технологий для решения задач экологии.
Критические значения коэффициента корреляции rk;α
2.1. Подобие физических явлений и его признаки
2.4. Применение методов подобия в математическом
11.3. Численные методы решения дифференциальных уравнений
11.3.2. Процесс численного решения
11.3.4. Модифицированный метод Эйлера
11.3.6. Метод Рунге – Кутта для систем дифференциальных уравнений
11.3.7. Общая характеристика одношаговых методов
11.3.9. Методы прогноза и коррекции
11.3.10. Краткая характеристика методов прогноза и коррекции.
11.3.11. Выбор шага и погрешность решения.
11.4. Имитационное моделирование систем
11.4.1. Принципы имитационного моделирования
11.4.3. Динамическая модель исследуемого объекта
11.4.4. Построение имитационных моделей динамических систем
11.4.5. Преобразование передаточных функций звеньев в дифференциальные уравнения в форме Коши
11.4.6. Синтез имитационной модели на основе структурной схемы
11.5. Теоретические основы построения математических моделей систем
11.5.1. Компонентные и топологические уравнения
11.5.2. Компонентные и топологические уравнения механической системы
11.5.3. Компонентные и топологические уравнения электрической системы
11.5.4. Компонентные и топологические уравнения гидравлической системы
11.5.5. Компонентные и топологические уравнения тепловой системы
11.6.1. Сущность метода электроаналогий.
11.6.2. Электромеханические аналогии
11.6.3. Построение имитационных моделей методом электроаналогий
11.6.4. Плоское прямолинейное движение звеньев
11.6.5. Электрогидравлические аналогии
Во втором случае для описания экспериментального материала необходимо выбрать нелинейную модель (табл. 5.8).
Таблица 5.8
Обработка результатов наблюдений
|
Уровни значений Xi |
Полученные значения Y при Xi |
Число опытов mi |
сред- нее значе- нне уi |
Сумма квадра- тов раз- ности
|
|
Вычисления |
|||||
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
||
|
1 |
3 |
2 |
1 |
3 |
2,00 |
2,00 |
1,070 |
0,93 |
2,611 |
||
|
2 |
2 |
3 |
3 |
3 |
2,67 |
1,11 |
2,140 |
0,53 |
0,861 |
||
|
3 |
4 |
3 |
5 |
3 |
4,00 |
2,00 |
3,210 |
0,79 |
1,915 |
||
|
4 |
4 |
5 |
6 |
3 |
5,00 |
2,00 |
4,280 |
0,72 |
1,607 |
||
|
5 |
4 |
6 |
6 |
3 |
5,33 |
2,67 |
5,350 |
0,02 |
0,07 |
||
|
6 |
7 |
8 |
8 |
3 |
7,67 |
0,33 |
6,420 |
1,25 |
4,823 |
||
|
21 |
24 |
27 |
29 |
18 |
26,67 |
10,11 |
22,47 |
4,24 |
11,82 |
||
(при
b0=0,
b1
=1,07)
Пример. По результатам наблюдений, приведенных в табл. 5.1, проверить линейность уравнения регрессии у = 1,07x .
Р е ш е н и е. Результаты наблюдений табл. 5.1 обрабатываем и представляем в виде табл. 5.6. Определяем Fл статистику
При уровне значимости, а = 0,05 и числе степеней k1 = 6 - 2 = 4; k2 = 18 - 6 = 12 по таблице (см. приложение 6, в) выбираем F4;12;0,05 = 5,91.
Сравниваем Fл = 3,5 < F4;12;0,05 = 5,91.
Следовательно, гипотезу о линейности уравнения регрессии у = 1,07к следует принять.
5. Доверительные интервалы для уравнения регрессии определяются по формуле
где 
—
значение
уравнения
регрессии
для
хi,
полученное
МНК;
—средняя
ошибка
отдельного
значения
уi;
При заданной величине уровня значимости α и числе степеней свободы k = n -1, величина tα;k принимается по таблице (см. приложение 2).
Для
нашего
примера
при
хi.
=
1,
=
1,07:
При α
=
0,1;
k
=
18
—
1
=
17;
t0,1;17
=
1,740,
тогда
Отсюда
для
хi=1
и
уi=
1,07:
1,07 -
0,82
1,07+
0,82;
0,25 
1,89.
Величина
ошибки
=
зависит
от
того,
насколько
далеко
отстоит
каждое
значение хi
от
среднего
х.
Ошибка
коэффициента
корреляции
определяется
по
формуле
Доверительный интервал имеет вид
Для нашего примера
при t0,1;17=1
назад
Лекция 6.
Нелинейный регрессионный анализ
Если
при
проверке
гипотезы
о
линейности
устанавливается,
что
статистический
материал
не
может
быть
описан
линейным
уравнением,
то
переходят к
поиску
нелинейной
модели.
Для предварительного выбора вида модели можно использовать примеры, приведенные в табл. 6.1. Рис.(6.1.) Поле рассеяния.
Можно воспользоваться интерполяцией. Для этого на поле рассеяния (рис.6.1.) следует выбрать несколько характерных точек, например х1= 1, х2= 3, х3= 5, и записать соответствующие пары (х1,у1), (х2,у2) и (x3, y3). Тогда нтерполяционная формула Лагранжа будет иметь вид при уi= 2; уi = 1;
y = 5,5 - 4,5x+х2 .
Таблица (6.1.)
Рекомендации по выбору вида функции
Продолжение табл. 6. 1.
Окончание табл. 6.1.
Для полученного уравнения, используя МНК, определяем коэффициенты b0, b1 и b2. Для одного и того же статистического материала могут быть использованы различные формы связи. Луч- шей моделью следует считать ту, которая дает наименьшее значение остаточной дисперсии.
