Материал: Математическое моделирование в экологии

(2.10)

Рис 2.3. Электрическая схема

Во второй цепи с параметрами R₂, L₂ протекает подобный первому процесс, уравнение которого

(2.11)

Определим критерии подобия и покажем, что они численно одинаковы для обоих процессов.

Разделив (2.10) и (2.11) соответственно на и, получим

(2.12)

Так как процессы подобны, то

(2.13)

Подставив выражения (2.13) в уравнение (2.12), получим

Поскольку уравнение (2.12) однородное, то

Заменяя в последнем уравнении масштабы отношениями сходственных параметров, получаем

Или в критериальной записи

2.4. Применение методов подобия в математическом

моделировании

Теория размерностей и подобия применяется для анализа и упрощения математических моделей. Упрощение состоит в понижении порядка системы уравнений, образующих модель, в уменьшении числа переменных или числа параметров, определяющих процесс. Системы единиц измерений можно выбирать по-разному, причем связи между величинами, определяющими модель, не должны изменяться при изменении единиц измерения.

Инвариантность явлений и процессов к изменению единиц измерения

определяется P -теоремой [11].

Пусть имеется функциональная связь

(2.14)

между n +1 размерными величинами a, a₁, …, a_n , где величины a₁, …,a_k имеют независимую размерность, и пусть эта связь не зависит от выбора системы единиц измерения (величина a определяемая, а остальные определяющие). Тогда связь (2.14) может быть записана как соотношение

(2.15)

между n +1- k критериями подобия П, П₁,…, П_n-k представляющими собой безразмерные комбинации из n +1 размерных величин а, а₁, …, а_n .

При этом критерии подобия П, П₁,…, П_n-k связаны с переменными а, а₁, …, а_n соотношениями:

(2.16)

Здесь показатели степеней α, β, …, γ; α₁, β₁, …, γ₁; α_n-k , β_n-k, …, γ_n-k те

же, что и в соответствующих формулах размерностей для размерно-зависи-мых величин a, a_{K+ 1}, a_n например в формуле .

Доказательство П - теоремы основано на инвариантности связи (2.14) относительно единиц измерения.

Представим любую размерно-независимую величину a_i i = 1, …,k в виде

a_i = {a_i}[a_i],

где {a_i} - числовое значение величины a_i (безразмерный коэффициент); [a_i] - некоторая произвольно выбранная единица измерения.

Числовые значения безразмерных коэффициентов для размерно-зависимых величин a, a_{k+ 1}, a_n вычисляются с использованием выбранных единиц измерений a_i i = 1, …, k по правилу

Соотношения (2.14) можно трактовать также и как связь между числовыми значениями величин a, a₁, …, a_n (т.е. связь между безразмерными величинами {a}, {a₁}, …., {a_n}, не зависящую, по предположению, от единиц измерения). Таким образом, для любых единиц измерений [a_i] справедливо равенство

или

Положим теперь [a₁] = a₁, [a₂] = a₂, …, [a_k] = a_k. Другими словами, выберем единицы измерений так, чтобы в полученной системе единиц измерений величины {a₁}, {a₂}, …., {a_k} тождественно равнялись единице. Тогда из последнего соотношения немедленно вытекают формулы (2.15) и (2.16).

Заметим, что поскольку единицы измерений [a₁], [a₂], …, [a_k] выбраны равными самим величинам a₁,a₂, …,a_k, то эти единицы измерений не остаются постоянными. Каждым новым значениям величин a₁,a₂, …,a_k отвечают новые значения единиц измерений. Однако такой подход к выбору единиц измерений не противоречит законам теории размерностей и подобия.

Применение П -теоремы уменьшает число величин в описании объекта и позволяет явно выразить определяемую величину a , а также величины a_k+1,…,a_n через П, П₁, …., П_n-k и a₁,a₂, …,a_k.

В частности, если n = k , то, как следует из уравнения (2.15), П= const и

т.е. решение задачи получается в виде простого выражения через определяющие параметры. Чтобы знать точное значение a , остается определить константу.

Пример 2.3

Определим с помощью П-теоремы критерий подобия для 2-го закона Ньютона. Этот закон можно записать как функциональную зависимость

F = f (m,l,t),

где F - сила; m - масса; l - расстояние; t - время.

Размерности параметров в классе MLT (масса, длина, время) выражаются следующими соотношениями:

[F] = LMT -2 , [m] = M, [l] = L, [t] = T.

Легко видеть, что определяющие параметры m, l и t имеют независимые размерности, размерность же параметра F выражается через размерности первых трех

[F] = [m] [l] [t^-2].

Таким образом, n = k = 3 и анализ размерности дает выражение для критерия подобия

,

что совпадает с результатом, который был получен для этой задачи в примере 2.1.

Пример 2.4

Определим с помощью П -теоремы критерий подобия для электрической цепи, которая была рассмотрена в примере 2.3. Цепь содержит активное сопротивление R и индуктивность L. При включении цепи на постоянное напряжение U в ней протекает процесс, который можно записать в виде функциональной зависимости

U = f (t,i,R,L).

Допустим, что определяющие параметры t,i,R имеют независимые размерности

[t] = T, [i] = I , [R] = L²MT^-3I^-2.

Тогда параметры U и L будут размерно-зависимыми.

[U] = L²MT^-3I^-1, [L] = L²MT^-2 I^-2 .

В данном случае k = 3, n - k =1. Анализируя размерности параметров, находим критерии подобия.

Заметим, что в примерах 2.3 и 2.4 критерии подобия найдены на основе общих функциональных зависимостей между определяющими и определяемыми параметрами. Точные уравнения физических зависимостей нами не рассматривались. Независимость физической закономерности (2.14) от выбора

единиц измерения означает, что эту зависимость можно представить

в виде уравнения

Уменьшение числа аргументов упрощает исследование. Пусть в уравнении (2.14) для выяснения зависимости величины a от некоторого определяющего параметра a_i надо измерить эту величину при десяти значениях данного аргумента. Тогда для экспериментального нахождения величины a - как функции n определяющих параметров a₁,…, a_n - следует произвести 10ⁿ экспериментов.

Согласно П - теореме, если все величины a₁,a₂ ,…,a_n выражаются через k независимых размерностей, задача сводится к определению функции n - k безразмерных аргументов П₁, …, П_n-k, для нахождения которых достаточно 10^n-k опытов, т.е. в 10^k раз меньше. Трудоемкость установления искомой функции сокращается на столько порядков, сколько среди определяющих параметров величин с независимыми размерностями.

В примере 2.4 исходное уравнение можно заменить зависимостью

П = Ф (П₁).

Следовательно, в координатах П, П₁ все опытные точки должны располагаться на единой кривой. Таким образом, заранее проведенный анализ размерностей сокращает объем экспериментальной работы во много раз.

Пример 2.5

Пусть известно, что период T колебаний маятника не зависит от его начального отклонения и скорости, а определяется лишь его длиной l, массой m и ускорением свободного падения g . Функциональная связь

T = f (l,m, g )

содержит четыре размерных величины. Допустим, что определяющие параметры l, m и g имеют независимые размерности.

[l] = L, [m] = M, [g] = LT ^-2.

Тогда параметр T следует принять размерно-зависимым.

[T ] = T.

Анализируя размерности, находим критерий подобия

Здесь, k = n = 3. Следовательно, выражение f (l,m, g ) = const и

С точностью до безразмерного множителя данная формула дает решение колебаний маятника. Причем выясняется, что их период не зависит от m. Таким образом, анализ размерностей дает возможность получить ценную предварительную информацию о процессе, не находя полностью решения задачи.

Пример 2.6

При атомном взрыве в его центре мгновенно выделяется значительная энергия E . От центра взрыва распространяется мощная ударная волна. Радиус фронта ударной волны r через промежуток времени τ после взрыва зависит от E, τ и плотности воздуха ρ [11].

r = f (E,τ,ρ).

Таким образом, n = 3, а размерности определяющих параметров в классе MLT есть: