Материал: Математическое моделирование в экологии

2.2. Анализ размерностей

Все упомянутые выше виды подобия подчиняются некоторым общим закономерностям, которые принято называть теоремами о подобии. Этих теорем три [3]. Доказательство данных теорем основано на положении теории размерности. Рассмотрим некоторые из этих положений. Измерение любой физической величины сводится к сравнению ее с некоторой одноименной величиной, принятой за единицу. В результате измерения получается отвлеченное число, выражающее отношение рассматриваемой величины к единице измерения. Если, например, данная величина a , будучи измерена соответствующей единицей измерения [a], дает число {a}, то можно записать

где [a] – единица измерения; {a} – числовое значение величины (безразмерный коэффициент). Измерив ту же величину a единицей [b] = m×[a], получим соответственно

т. е. {a} = m{b}.

Это означает, что при уменьшении или увеличении единицы измерения данной величины в m раз во столько же раз соответственно увеличится или уменьшится число, которым эта величина выражается. Единицы измерения могут быть основными и производными. Совокупность основных единиц и производных, образованных по определенным правилам, составляет систему единиц. Основные единицы характеризуются тем, что размер ее выбирается

произвольно и не зависит от остальных единиц.

Всякая производная единица измерения является степенной функцией от основных единиц измерения. Поскольку формулы размерностей воспроизводят зависимость между самими физическими величинами, то каждая физическая величина может быть выражена через величины, соответствующие основным

единицам измерения, только посредством степенной функции вида:

где a - данная физическая величина; α, β, κ, γ - отвлеченные числа;

a₁,а₂, …,а_k - физические величины, соответствующие основным единицам измерения.

Например, если в качестве величин, соответствующих основным единицам измерения, принять массу m, длину l и время t, то мощность, как известно, можно выразить через эти величины следующим образом:

Предположим, что мы пользуемся системой, в основу которой положены k основных единиц, например, a₁,а₂, …,а_k. Тогда производная единица [a_{k+ 1}] является их функцией вида:

где α₁, β₁, κ, γ₁ – любые действительные числа, называемые размерностями производной единицы [a_{k+ 1}] относительно основных единиц [a₁] [а₂] […] [a_k] .

Уравнение (2.1), дающее зависимость производной единицы от основной единицы, называется формулой размерностей. При переходе к другой системе, в которой основными единицами будут

[b₁] [b₂] … [b_k],

причем

; ; ……..

единица измерения производной величины так же изменится, а именно:

(2.2)

Следовательно, изменение производной единицы ,

где

Выражение (2.2) раскрывает основной смысл формулы размерности, показывая как с изменением основных единиц изменяется данная производная единица измерения. При подстановке в (2.1) вместо [a₁]; [а₂];…..; [а_k] величин, им пропорциональных (что аналогично переходу к новой системе единиц), коэффициенты пропорциональности в соответствующих степенях объединяются в один общий множитель 1 N , на который будет умножено первоначальное выражение. Функции, обладающие таким свойством, носят название однородных (гомогенных) функций.

Свойством однородности будут обладать и уравнения,

Q + Q +……+ Q = 0

члены которых составлены из величин, являющихся однородными функциями. Однородность физических уравнений является следствием правила Фурье, согласно которому члены такого уравнения имеют одинаковую размерность, а следовательно, общие множители N₁ = N₂ = …… = N_n каждого из членов уравнения одинаковы и могут быть вынесены за знак суммы.

2.3. Первая теорема подобия

У явлений, подобных в том или ином смысле (физически или математически), можно найти определенные сочетания параметров, называемые критериями подобия, которые имеют одинаковые значения.

Рассмотрим два процесса, описываемых однородными уравнениями.

Для первого процесса

Q₁ + Q₂ +……+ Q_n = 0. (2.3)

Для второго процесса

q₁ + q₂ + …… + q_n = 0 .4)

где

Q_i = f_i(P₁,P₂,….,P_m), i= 1…. n (2.5)

q_i = f_i(R₁,R₂,…..,R_m), i = 1…. n

В уравнениях (2.3) и (2.4) Q_i и q_i - однородные функции. В свою очередь P₁ и R₁, Р₂ и R₂ . . . P_m и R_m – сходственные переменные и параметры двух процессов. Поскольку Q_n и q_n не равны нулю, то уравнения (2.3) и (2.4) можно переписать в виде:

(2.3а)

(2.4а)

Для подобных процессов уравнения (2.3а) и (2.4а) совпадают, т.е. они тождественны. Поскольку процессы подобны, то:

; ; ……;

или

P₁ = m₁R₁; P₂ = m₂R₂; ……; P_m = m_mR_m (2.6)

После подстановки в уравнение (2.5) соотношений (2.6) вследствие однородности функции i Q можно вынести масштабы m₁,m₂, ….., m_m в соответствующих степенях за знак функции в виде общего множителя N_i , т. е.

Q_i = f_i(P₁,…..,P_m) = f_i(m₁R₁,….., m_mRm)= N_i f_i(R₁,…..,R_m) = N_iq_i

Поскольку

Q_i = N_i q_i

то имеют место равенства

Q1 = N1 q1 Q2 = N2 q2 Q3 = N3 q3 ……….. Qn = Nn qn

(2.7)

Теперь подставим равенства (2.7) в уравнение (2.3а)

В соответствии с уравнением Фурье

N₁ = N₂ =…..= N_n

т.е.

В результате от уравнения (2.3а) приходим к уравнению (2.4а).

Следовательно, уравнения (2.3а) и (2.4а) оказываются тождественными. Это означает, что между соответствующими членами уравнений (2.3а) и (2.4а) существуют соотношения:

; ; …….

Обобщая полученные результаты на S подобных процессов, получаем

где 1,2, …, S – номер процесса.

Индексы, характеризующие номер процесса, можно опустить и

записать (2.9) в общем виде

,

где idem - означает "соответственно одинаково для всех рассматриваемых процессов". Таким образом, у подобных процессов некоторые соотношения

параметров, называемые критериями подобия, оказались численно

одинаковыми. В сложных явлениях может одновременно протекать несколько различных процессов. Подобие каждого из этих процессов в отдельности обеспечивает подобие всего явления.

Обозначая критерий подобия буквой П (пи), можно дать краткую формулировку первой теоремы: для всех подобных явлений

П = idem.

Следует заметить, что справедливо и обратное положение: если критерии подобия численно одинаковы, то явления подобны. Нужно обратить внимание на практически важное свойство критериев подобия: критерии подобия любого явления могут преобразовываться в критерии другой формы, получаемые за счет операции умножения или деления ранее найденных критериев друг на друга или на какой-либо из них, т.е. если какие-либо критерии

П_k = idem и П_k+j = idem

то очевидно

П_k П_k+j = idem; ; ; kП_kj = idem.

где k - любая постоянная величина.

Заметим, что уравнение (2.3а) могло иметь совершенно иную физическую природу, чем уравнение (2.4а) при одинаковой их математической записи.

Пример 2.1

Пусть имеются два тела массой М₁ и М₂ , движения которых подобны и описываются следующими однородными уравнениями:

Разделив первое уравнение движения на f₁, а второе - соответственно на f₂, получим

(2.8)

Поскольку явления подобны, то их параметры связаны соотношениями:

M₁=m_MM₂

f₁=m_ff₂

l₁=m_ll₂

t₁=m_tt₂

Подставив эти соотношения в уравнение (2.8), получим

Поскольку уравнение движения первого тела однородное, то

(2.9)

Подставив в (2.9) вместо масштабов отношения сходственных параметров, получим:

или .

Обобщив полученный результат на S подобных систем, получим

Соотношение одинаковое для всех подобных систем, является основным критерием механического подобия:

¹

Пример 2.2

Пусть в цепи (рис. 2.3), обладающей сопротивлением R, и индуктивностью L1 при включении ее на постоянное напряжение U1 протекает процесс, описываемый уравнением