Материал: Математическое моделирование в экологии

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Результаты эксперимента

xi

1

3

2

5

2

5

6

2

3

6

4

1

3

4

6

5

1

4

yi

3

5

3

4

3

б

7

2

3

8

6

2

4

4

8

6

1

5

Решение. Для вычисления коэффициентов уравнения регрессии составляем статистическую табл. 5.3.

По вычисленным суммам определяем:

Тогда уравнение регрессии будет иметь вид .

Таблица 5.3

Статистическая таблица эксперимента

Номер опыта

Значения Xi

Значения Уi.

ХiYi

Xi2

Yi2

1

1

3

3

1

9

2

1

2

2

1

4

3

1

1

1

1

1

4

2

2

4

4

4

5

2

3

6

4

9

6

2

3

6

4

9

7

3

4

12

9

16

8

3

3

9

9

9

9

3

5

15

9

25

10

4

4

16

16

16

11

4

5

20

16

25

12

4

6

24

16

36

13

5

4

20

25

16

14

5

6

30

25

36

15

5

6

30

25

36

16

6

7

42

36

49

17

6

8

48

36

64

18

6

8

48

36

64

63

80

336

273

428

Определяем коэффициент корреляции:

,

отсюда следует, что Y и Х тесно связаны друг с другом, так как коэффициент корреляции близок к единице.

При нелинейной форме связи могут быть использованы два подхода:

• первый — когда нелинейная форма связи представляется в виде линеаризованной функции;

• второй — когда используется итерационный нелинейный метод наименьших квадратов.

В первом случае исследователь сначала выбирает форму нелинейной связи, затем её линеаризует, преобразуя члены уравнения регрессии, например, как это показано в табл. 5.4.

Таблица 5.4.

Пример преобразования членов уравнения регрессии

Функция

Линеаризующие преобразования

Преобразование переменных

Преобразование коэффициентов

Y1

Х1

y = b0+b1/х

y

1/х

b0

b1

y= 1/(b0+b1x)

1/y

х

b0

b1

y= x/(b0+b1x)

х/у

х

b0

b1

у =b0

lny

х

lnb0

lnb1,

y =b0ebx

lny

х

lnb0

b1

y=1/(b0+b1e-x)

1/у

e-x

b0

b1

у = b0xb

lny

lnx

lnb0

b1

у =b0+b1lпх

y

lnx

b0

b1,

у = b0/(b1+х)

1/y

х

b1/b0

1/ b1

у = b0х/(b1+х)

1/у

1/х

b1/b0

1/b1

y = b0+b1xn

y

xn

b0

b1

Затем используется метод МНК для линеаризованного уравнения, откуда определяются коэффициенты уравнения регрессии. По- лученное уравнение регрессии затем вновь преобразуется в нелинейную форму.

Пример. В результате многолетних исследований зависимости толщины слоя ила после разлива на пойменных лугах от толщины снежного покрова получены данные, показанные в табл. 5.5.

Таблица 5.5

Толщина

снежного покрова Х, см

1

2

3

4

5

6

7

слоя ила Y, см

0,5

1,0

1,4

1,7

1.8

1,9

2,0

Требуется найти зависимость между толщиной снежного покрова и толщиной слоя ила.

Р е ш е н и е. Предполагаем зависимость между Х и Y вида у = abx. Линеаризуем уравнение, при у' = lny; х' = х; а' = lnа и b' = lnb, тогда у' = а' +xb'. Составляем статистическую таблицу.

Составляем систему нормальных уравнений МНК:

na' + b' ∑ х = у' 7a' + b'28 = 0,9106

или

а'х+ ∑х2 = ху' 28a'+ 140b' = 6,1152.

Таблица 5.6

Вычисление данных для линеаризации уравнения регрессии

Х

Y

lny

xlny

x2

1

0,5

- 0.3010

- 0,3010

1

2

1,0

0

0

4

3

1,4

0,1461

0,4383

9

4

1,7

0,2304

0,9216

16

5

1,8

0,2553

1,2765

25

6

1,9

0,2788

1,6728

36

7

2.0

0,3010

2,1070

49

∑=28

10,3

0,9106

6,1152

140

После преобразований получим: а = 0,6; b = 1,226. Следовательно, уравнение регрессии для зависимости толщины слоя ила от толщины снежного покрова будет иметь вид:

=

В табл. 5.7 даны нормальные уравнения МНК для некоторых функций.

Таблица 5.7

Нормальные уравнения мнк для некоторых функций

Функции

Нормальные уравнения

y = a+bx

an + b∑x =∑у; a∑ + b∑х2 = ∑ху

у = аЬxсx2

nlga + lgb∑x + lgс∑х2 = ∑lgy lga∑x + lgb∑x2 + lgc∑x3 = ∑lgxlgy; lg∑x2+lg∑x3+lg∑4 =∑х2lgy

lgy = a+ bx

an + b∑ = ∑lgy; a∑х + b∑x2 = ∑xlgy

y = а+ bx+ сх2

na + b∑х + с∑х2 =∑у а∑х + b∑x2 + с∑х3 = ∑ху a∑x2+ b∑x3 + с∑x4 =∑x2у

у =аbx

nlga+ lgb∑x = ∑lgy lga∑x + lgb∑x2 = ∑lg xlg y

y = a+b - lgx

an+ b∑lgx = ∑у a∑lgх + b∑(lnх)2= ∑lgxlgy

Рассмотрим второй случай — метод наименьших квадратов для нелинейных форм. Пусть Y — целевая функция; у1, у2, ..., уn — набор ее наблюдений; х1, х2, ..., хn — переменные факторы. Наблюдения представляют из себя вектор

Xi = (x1i, x2i, ..., xmi).

Необходимо целевую функцию Y выразить через вектор Х посредством функции f, вид которой известен, однако неизвестны некоторые её параметры d1, d2, ..., dk. Тогда для Yi можно записать

Yi = fi(d1, d2, ..., dk; x1, x2, ..., xmi) + Fi ,

где Fi — отклонение (ошибка).

Если исключить параметры d1, d2, ..., dk то функция запишется в виде

Yi = fi(х„.,х„,,х„„.) + Fi,

куда входят параметры, которые необходимо найти МНК.

Минимизируя

и используя метод Маркварда, введем векторы

; ; ; ,

сформируем задачу в виде: найти такое Х*, что при F = Y — f целевая функция (сумма квадратов остатков) S = FTF минимизируется.

Приближенное значение Хi, получаемое на t-том шаге итеративного процесса, и последующее приближенное значение Хt+1 связаны между собой вектором поправки ∆Х, т.е.

Формула вектора поправки ∆Х согласно условию минимизации, выводится из решения системы линейных уравнений

откуда = -(АTА)-1 AтF,

Источник: https://files.student-it.ru/previewfile/278848

Смотрите также:

Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27