Материал: Математическое моделирование в экологии

Ширина доверительного интервала равна Н = Θ _b1 - Θ _b2.

Точечные оценки параметров распределения случайных величин. Основными методами получения точечных оценок являются метод моментов, метод наименьших квадратов (МНК) и метод максимально- го правдоподобия (ММП).

Метод моментов является наиболее простым и общим способом точечной оценки. Пусть имеется выборка (х₁, х₂, ..., х_n) случайной величины Х. Среднее значение наблюдаемого признака можно оп- ределить по формуле

Таким образом, представляет собой эмпирическое, или выборочное среднее. Если вычислено среднее, то легко найти отклонение каждого наблюдения δ, от среднего δ_i = х_i — .

Величину S² =называют дисперсией или вторым центральным моментом эмпирического распределения

m₂ = S²

В случае одномерного эмпирического распределения произволь- ным моментом порядка К называется сумма К-тых степеней отклоне- ний результатов наблюдений от произвольного числа С, деленная на объем выборки n

где k может принимать любые значения натурального ряда чисел. Начальным моментом первого порядка является выборочное среднее , т.е.

что мы видели ранее. Если С = , то имеем центральные моменты

…………………

Среднеквадратическое отклонение равно

Выборочное значение коэффициента вариации V, являющееся мерой относительной изменчивости наблюдаемой случайной вели- чины, вычисляют по формуле

или в процентах

Если известна форма связи искомого параметра с моментами, то вначале находят выборочные оценки моментов, а затем, используя форму связи, вычисляют оценку самого параметра. Например, в качестве меры симметричности графика распределения случайных величин, используется коэффициент асимметрии А_s который для симметричного распределения равен нулю. Для оценки асимметричности используется формула

Если А_s > 0, то график плотности вероятности имеет «скос» с левой стороны от , а если А_s < 0, то — с правой.

В качестве меры «крутости» графиков распределения случайных величин используют коэффициент эксцесса E_k, характеризующий «крутость» графика по сравнению с кривой Гаусса. Для оценки Е, используется формула

Если E_k ≥ 0, то кривая островершинная, при E_k < 0 — плоско- вершинная (пологая). Метод моментов, как правило, приводит к состоятельным оценкам. Однако при малых выборках оценки мо- гут оказаться значительно смещенными и малоэффективными. Метод моментов достаточно эффективен для оценки параметров нормально распределенных случайных величин.

Метод наименьших квадратов в основном используется для оценки коэффициентов уравнения регрессии, например в ального параметра используется процентная частота, то ее ошибка вычисляется по формуле00

и будет рассмотрен в регрессионном анализе.

Метод максимального правдоподобия имеет большое преимущество по сравнению с другими методами точечной оценки. Он дает состоятельные, распределенные асимптотически нормально, эффективные оценки. Хотя эти оценки могут быть несколько смещенными.

Метод состоит в следующем. Пусть имеется выборка (х₁, х₂, ..., х_n), а рассматриваемый признак х имеет распределение плотности веро- ятностей f(x, Θ), где Θ есть неизвестный параметр, который требу- ется оценить по выборке. В силу случайности попадания в выборку величины х_i. вероятность осуществления данной выборки равна произведению плотности вероятностей

Такая функция называется функцией правдоподобия выборки и обозначается через L, т.е.

Выборочная оценка, которая обращает в максимум функцию правдоподобия, называется оценкой максимума правдоподобия.

Для нахождения максимума определяем частную производную и приравниваем ее к нулю,

Например, для показательного распределения f(x, Θ)= Θе^Θx, где Θ — неизвестный параметр, который следует оценить по выборке (x₁,х₂,...,х_n), составим функцию правдоподобия

Прологарифмируем функцию L

Теперь ее продифференцируем и приравняем к нулю

Отсюда

Для оценки величины рассеивания средних выборочных относительно математического ожидания генеральной совокупности в случае нормального распределения случайной величины х можно применить формулу

где D(x) — известная дисперсия генеральной совокупности;

n — объем выборки.

Средняя ошибка выборочной средней

Несмещенная оценка дисперсии, получается, по методу максимального подобия с поправкой

Характеристика рассеивания дисперсии S определяется по формуле

Средняя ошибка выборочной дисперсии

Для нормального распределения

При обработке статистических данных используют следующие виды оценок:

1. Средняя арифметическая для объема выборки n

При разделении выборки на k групп, в которых x_j встречается m_j раз

Средняя арифметическая в группе k

Средняя групповая

4.2. Средняя геометрическая используется тогда, когда вариант х_i имеет размерность нулевого порядка. Величины такой размерности выражают вторичные признаки, являющиеся отношением двух одноименных величин, например измеренная в результате опыта величина сравнивается с некоторым стандартным значением. В результате получается, что величина х_i является безразмерной. Тогда средняя геометрическая равна

или

4.3. Средняя гармоническая имеет свойство усреднять при неизменной сумме величин, обратных усредняемым. Она применяется тогда, когда варианта х_i представлена обратной величиной и определяется по формуле

4.4. Средняя квадратическая используется тогда, когда варианта представляет размерность второго порядка, например, когда х_i есть площадь поверхности, полученная измерением длин сторон прямо- угольника. В этом случае используется формула

5.5. Медиана делит ранжированный ряд распределения вариант х_i на две равные части. Таким образом, в ранжированном ряду распределения одна половина ряда имеет значения признака, превышающие медиану, а другая — меньше медианы. Медиана является характеристикой центральной тенденции признака, особенно когда концы распределения расплывчаты и неясны.

5.6. Мода показывает значение величины х_i, имеющей наибольшую частоту в статическом ряду распределения. Так, в табл. 3.1 и на рис. 3.1 показано, что мода равна хт = 1 при частоте т_i = 10.

4.7. Выборочная дисперсия

Среднее квадратическое отклонение .

4.8. Дисперсия альтернативного признака используется тогда, когда признак измеряется двумя альтернативными значениями, например 0 и 1, да и нет, присутствует или не присутствует. Доля элементов выборки, обладающих признаком 1, равна .

признаком 0

Средняя

Дисперсия

Интервальные оценки параметров распределения случайных вели- чин. Точечные оценки параметров не дают информации о степени близости оценки Θ_b к соответствующему теоретическому параметру